Kezdőlap


Feladat:	98. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bácsy Zsolt , Bollobás Béla , Kardeván Péter , Náray-Szabó Gábor
Füzet:	1961/március, 142 - 144. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kondenzátor-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/november: 98. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az a) ábrán $C_{1}$ és $C_{2}$ sorba, $C_{3}$ és $C_{4}$ szintén sorba, míg a két csoport ( $C_{1}$ , $C_{2}$ és $C_{3}$ , $C_{4}$ ) párhuzamosan van kapcsolva, a b) ábrán $C_{2}$ , $C_{3}$ és $C_{4}$ kondenzátorok sorba vannak kötve, hozzájuk $C_{1}$ párhuzamosan csatlakozik. A kapacitások összegezési szabályai szerint felírhatjuk az eredő kapacitásokat:
a) esetben:

\begin{matrix} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} + \frac{C_{3} C_{4}}{C_{3} + C_{4}}; \end{matrix}

b) esetben:

\begin{matrix} \frac{C_{1} C_{2} C_{3}}{C_{1} C_{2} + C_{1} C_{3} + C_{2} C_{3}} + C_{4} . \end{matrix}

Vizsgáljuk meg, hogy az egyenlőség mikor áll fenn:

\begin{matrix} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} + \frac{C_{3} C_{4}}{C_{3} + C_{4}} = \frac{C_{1} C_{2} C_{3}}{C_{1} C_{2} + C_{1} C_{3} + C_{2} C_{3}} + C_{4} . \end{matrix}

Közös nevezőre hozva és a szorzásokat elvégezve:

\begin{matrix} \frac{C_{1} C_{2} C_{3} + C_{1} C_{2} C_{4} + C_{1} C_{3} C_{4} + C_{2} C_{3} C_{4}}{C_{1} C_{3} + C_{2} C_{3} + C_{1} C_{4} + C_{2} C_{4}} = \\ = \frac{C_{1} C_{2} C_{3} + C_{1} C_{2} C_{4} + C_{1} C_{3} C_{4} + C_{2} C_{3} C_{4}}{C_{2} C_{3} + C_{1} C_{3} + C_{1} C_{2}} . \end{matrix}

Mivel a számlálók egyenlők, az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a nevezők is egyenlők:

\begin{matrix} C_{1} C_{3} + C_{2} C_{3} + C_{1} C_{4} + C_{2} C_{4} = C_{2} C_{3} + C_{1} C_{3} + C_{1} C_{2}, \\ C_{4} (C_{1} + C_{2}) = C_{1} C_{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} C_{4} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

Itt az egyenlőség jobb oldalán a

C_{1}

és

C_{2}

kondenzátorok soros eredője áll. Ennek alapján helyettesítve a kapcsolási rajzon, az egyenlőség nyilvánvaló.

Kardeván Péter (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. IV. o. t.)

Általánosítás; Vizsgáljuk a feladatot általánosan,

n

db kondenzátor esetére.

Ekkor az I. megoldásban adott értelmezés szerint a két kapcsolás egyenlő kapacitású, ha az ábrán jelölt

C_{1}

C_{2}

C_{3}

kondenzátorrendszerek eredő kapacitásaira az alábbi összefüggés áll:

\begin{matrix} \frac{1}{1 / C_{1} + 1 / C_{2}} + C_{3} = \frac{1}{1 / C_{2} + 1 / C_{3}} + C_{1} . \end{matrix}

Ezen összefüggést a kondenzátorrendszerek eredő kapacitásaira vonatkozó tételek alapján írtuk fel. Ebből előbb (

1 / C_{1} + 1 / C_{2}

)-vel, majd (

1 / C_{2} + 1 / C_{3}

)-mal végigszorozva, és a lehetséges összevonásokat elvégezve nyerjük:

\begin{matrix} \frac{C_{3} - C_{1}}{C_{2}^{2}} = \frac{C_{1}^{2} - C_{3}^{2}}{C_{1} C_{2} C_{3}} . \end{matrix}

Az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül

C_{1} = C_{3}

esetén, vagy (

C_{1} - C_{3}

)-mal egyszerűsítve, mindkét oldal reciprokát véve:

\begin{matrix} - C_{2} = C_{1} C_{3} / (C_{1} + C_{3}) \end{matrix}

megoldást nyerjük, ami fizikailag nyilván nem értelmezhető, mert

C_{2} > 0

. A két kapacitás tehát akkor egyenlő, ha

C_{1} = C_{3}

Náray‐Szabó Gábor (Bp. XI., József A. g. IV. o. t.)

II. megoldás: A

C_{1}

és

C_{2}

kondenzátorok mindkét esetben sorba vannak kapcsolva, tehát egyszerűbb, ha mindjárt soros eredőjükkel számolunk:

\begin{matrix} C_{1,2} = C_{1} C_{2} / (C_{1} + C_{2}) . \end{matrix}

Az ábrából láthatjuk, hogy ha

C_{1,2} = C_{4}

, bármi legyen is

C_{4}

értéke, a) és b) kapcsolásban az eredők megegyeznek. Ugyanis ekkor a)-ról b)-re áttérve

C_{1,2}

megfelel

C_{4}

-nek, tehát a b) esetben két ugyanolyan eredő kapacitású kondenzátorrendszer párhuzamos kapcsolásáról van szó, mint a)-ban. Kérdés még, hogy ez a feltétel csak elégséges, vagy szükséges is.
Ha az a) rendszerből kivesszük a

C_{3}

kondenzátort, a felső

C_{3,4}

rész kapacitása nő, és ha az alsó

C_{1,2}

részhez kapcsoljuk, lent kisebb lesz a kapacitás. Hogy a két esetben az eredő egyenlő legyen, kell, hogy a fenti kapacitásnövekedés a lenti csökkenéssel megegyezzék. A növekedés mértékét a

C_{3}

és

C_{4}

kapacitások határozzák meg, ekkora csökkenést a

C_{3}

kondenzátor pedig nyilván

C_{4}

kapacitású kondenzátorral sorba kötve okoz. Tehát kell, hogy

C_{1,2} = C_{4}

legyen.

Bácsy Zsolt (Bp. V., Eötvös J. g. IV. o. t.)

Általánosítás: Látható, hogy ha négy kondenzátor helyett

n

számút vettünk volna ugyanígy kapcsolva, s a második vezeték a

k

-adik ill.

l

-edik után ágazott volna ki, az első

k

illetve az utolsó

n - k

db kondenzátort az előbbiekhez hasonló módon összevonva, a fentihez hasonló gondolatmenettel feltételként az

\begin{matrix} \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + ... + \frac{1}{C_{k}} = \frac{1}{C_{l + 1}} + \frac{1}{C_{l + 2}} + ... + \frac{1}{C_{n}} \end{matrix}

összefüggéshez jutottunk volna.

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere J. gyak. g. IV. o. t.)