Kezdőlap


Feladat:	97. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fritz József , Gáspár Csaba , Náray Szabó Gábor
Füzet:	1961/március, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áram hőhatása (Joule-hő), Áramforrások belső ellenállása, Ellenállások soros kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/november: 97. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a telep elektromotoros ereje $E$ , és $R_{k} / R_{b} = k$ . Ekkor az áram

\begin{matrix} I = \frac{E}{R_{k} + R_{b}} = \frac{E}{R_{b}} \cdot \frac{1}{k + 1} . \end{matrix}

Az egyenlő idők alatt fejlődő hő az

I^{2} R

teljesítménnyel arányos, ez a külső ellenállás esetében arányos az

\begin{matrix} \frac{E^{2}}{R_{b}^{2}} \cdot \frac{1}{{(k + 1)}^{2}} \cdot R_{b} \cdot k = \frac{E^{2}}{R_{b}} \cdot \frac{1}{k + 2 + 1 / k} \end{matrix}

mennyiséggel. A kifejezés

k

és

1 / k

-ra szimmetrikus, épp ezért

k_{1} = k

és

k_{2} = 1 / k

mellett a külső ellenálláson azonos hő fog fejlődni. Mivel a függvény másodfokú, más megoldás nincs is.
Tehát a megoldás

\begin{matrix} R_{k_{1}} = R_{k} és R_{k_{2}} = \frac{R_{b}^{2}}{R_{k}}, ugyanis R_{k_{2}} = \frac{R_{k_{1}}}{k^{2}} . \end{matrix}

A példa adataival

R_{k_{2}} = 2 ohm

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. IV. o. t.)

II. megoldás: Egy áramkörben a sorbakapcsolt ellenállásokon fejlődő hő az ellenállások értékével arányos. Ha

P_{b}

a belső,

P_{k}

a külső ellenálláson fejlődő hőteljesítmény, akkor

\begin{matrix} P_{b} = P_{k} \cdot \frac{R_{b}}{R_{k}} . \end{matrix}

(1)

Növeljük meg a kör valamennyi ellenállását arányosan

R'_{b}

-re és

R'_{k}

-re úgy, hogy

R'_{k} = R_{b}

legyen. Mivel eközben az ellenállások értéke

R_{b} / R_{k}

-szorosára nő, azért

R'_{b}

ellenálláson fejlődő hőteljesítmény ugyanennyiszer csökken:

\begin{matrix} P'_{b} = P_{b} \cdot \frac{R_{k}}{R_{b}} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2) összevetéséből

P'_{b} = P_{k}

adódik; másrészt az előbbiek szerint

R'_{k} = R_{b}

. Rögtön látható, hogy a feladat megoldása

R'_{b}

lesz.

\begin{matrix} R'_{b} = R_{b} \cdot \frac{R_{b}}{R_{k}} = R_{b}^{2} \cdot \frac{1}{R_{k}} . \end{matrix}

Az első megoldásból láttuk, hogy ez az egyetlen megoldás. Így

\begin{matrix} R_{k_{2}} = R_{b}^{2} / R_{k} = 2 ohm . \end{matrix}

Gáspár Csaba (Berettyóújfalu, Arany J. g. IV. o. t.)