Feladat:	95. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Huber Tibor ,  Kóta József ,  Nagy Dénes Lajos ,  Schaub Zsuzsa ,  Simonovits Miklós ,  Szegi A.
Füzet:	1961/március, 139 - 140. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Csúszó súrlódás, Állócsiga, Mozgócsiga, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/november: 95. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az energiamegmaradás törvénye szerint a súly helyzeti energiájának csökkenése egyenlő a két tömeg megszerzett mozgási energiájának és a láda súrlódási munkájának összegével. $m_1$ ládatömeg, $v_1$ ládasebesség, $m_2$ csigán lógó tömeg, ennek $v_2$ sebessége és $\mu$ súrlódási együttható esetében ez egyenletben felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_2\text{g}l\text{tg }\alpha =\frac{m_1{v}_1^2}{2}+\frac{m_2{v}_2^2}{2}+\mu m_1\text{g}\left(\frac{2l}{\text{cos}\alpha }-2l\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Nehezebb dolog $v_1$ és $v_2$ sebességek összefüggésének megtalálása. Igen rövid $\Delta t$ idő alatt a láda $v_1\Delta t$, a súly pedig $v_2\Delta t$ utat tesz meg. A keskeny $OPX$ háromszögre felírjuk a cosinus‐tételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{l}{\text{cos}\alpha }+\frac{v_1\Delta t}{2}\right)}^2={\left(\frac{l}{\text{cos}\alpha }\right)}^2+{\left(v_2\Delta t\right)}^2-2\cdot \frac{l}{\text{cos}\alpha }\cdot v_2\cdot \Delta t\text{cos}\left({90}^{\circ }+\alpha \right)\mathrm{,}}\end{array}$ rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{l{v}_1}{\text{cos}\alpha }+\frac{v_1^2\Delta t}{4}=v_2^2\cdot \Delta t+\frac{2l{v}_2\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Igen rövid időre áttérve $\Delta t=0$ és marad: $v_1=2v_2\text{sin}\alpha$. Ez a sebességek igen nevezetes összefüggése (amely másképp is levezethető). Behelyettesítve az energia‐egyenletbe (mivel $1:\text{cos}\alpha =sec\alpha$), ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2m_2\text{g}l\text{tg }\alpha =m_1\cdot 4v_2^2\text{sin}{}^2\alpha +m_2{v}_2^2+4\mu m_1\text{g}l\left(sec\alpha -1\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Innen a súly sebessége: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=\sqrt[]{2gl}\cdot \sqrt[]{\frac{m_2\text{tg }\alpha +2\mu m_1\left(1-sec\alpha \right)}{4m_1\text{sin}{}^2\alpha +m_2}}\mathrm{.}}\end{array}$ A láda $v_1$ sebessége azután $v_1=2v_2\text{sin}\alpha$.   Schaub Zsuzsanna (Győr, Kazinczy F. lg. III. o. t.)     Megjegyzések: A versenyfeladat megoldását a $v_1=0$ vagy $v_2=0$ egyenlet adja meg. Az ábrán látható a függvények menete. Mértani okból az adatok bármilyen értéke mellett a sebességek $\alpha ={30}^{\circ }$ mellett lesznek egyenlők. Érdekesen ábrázolható rajzban a mozgási energiák változása a mozgás közben.