Kezdőlap


Feladat:	89. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Grüner György , Molnár Emil , Nagy Dénes Lajos , Náray-Szabó Gábor
Füzet:	1961/március, 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 89. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a parabola érintője felezi a parabola csúcsa (az origó) és az érintési pontból az $x$ tengelyre bocsátott merőleges talppontja által meghatározott szakaszt, így az $a$ -val jelzett szakaszok egyenlőek és $a = m / tg α$ (ahol $m$ az emelkedési magasság). Ugyanígy $b = (m - y) tg β$ .

És mivel

2 a + 2 b = x

, ezért

\begin{matrix} x = 2 \cdot \frac{m}{tg α} + (m - y) tg β . \end{matrix}

Mivel pedig

tg β = \frac{y}{x}

, és a

tg α = 2 tg β + ctg β

összefüggésből

\begin{matrix} tg α = \frac{2 y^{2} + x^{2}}{x y}, m = \frac{c^{2} cos^{2} α}{2}, \\ cos^{2} α = \frac{1}{tg^{2} α + 1} = \frac{x^{2} y^{2}}{4 y^{4} + x^{4} + 5 x^{2} y^{2}}, \end{matrix}

behelyettesítve

\begin{matrix} x = \frac{2 x y}{y^{2} + x^{2}} \cdot \frac{c^{2}}{g} + 2 (\frac{x^{2} y^{2}}{4 y^{4} + x^{4} + 5 x^{2} y^{2}} \cdot \frac{c^{2}}{g} - y) \cdot \frac{y}{x} . \end{matrix}

Beszorozva, egyszerűsítve az

\frac{{(y - \frac{c^{2}}{4 g})}^{2}}{{(\frac{c^{2}}{4 g})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(\frac{c^{2}}{2 g})}^{2}} = 1

egyenletet kapjuk, tehát a mértani hely ellipszis.

Grüner György (Magyaróvár, Kossuth L. g. IV. o. t.)

Megjegyzés: Amint közismert, ugyanez az ellipszis a hajítási parabolák csúcspontjainak mértani helye is.

tg α

értékének nem szabad kisebbnek lennie

2 \sqrt[]{2}

-nél; ha

tg α

nagyobb

2 \sqrt[]{2}

-nél, akkor

α

minden értékéhez két

β

tartozik.