Kezdőlap


Feladat:	86. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kunszt Zoltán , Nagy Dénes Lajos , Zalán Péter
Füzet:	1961/március, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkinga, Lineáris hőtágulás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/október: 86. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltételezzük, hogy az óra ingája matematikai ingának tekinthető, amelynek lengésideje $0 C^{\circ}$ -on $τ_{0} = 2 π \sqrt[]{l_{0} / g}$ . $T = 86 400 sec$ alatt a hőmérséklet-emelkedés $ϑ = 10 C^{\circ}$ , aminek következtében az ingarúd $ε = a ϑ = 2 \cdot 10^{- 5} \cdot 10 = 2 \cdot 10^{- 4}$ részével megnyúlt. Mivel a megnyúlás időben egyenletes, $t$ idő alatti megnyúlás eredményeképpen az inga lengésideje

\begin{matrix} τ = 2 π \sqrt[]{\frac{l_{0} (1 + \frac{t}{T} ε)}{g}} = τ_{0} \sqrt[]{1 + \frac{t}{T} ε} . \end{matrix}

Könnyen bebizonyítható, hogy ha

x

1-hez képest igen kicsiny, akkor jó közelítéssel

\sqrt[]{1 + x} = 1 + x / 2

, tehát

τ = τ_{0} + \frac{t}{T} \frac{ε}{2} τ_{0}

Δ τ = \frac{t}{T} \frac{ε}{2} τ_{0}

idődifferenciák összege teszi ki az óra késését.

T

idő alatt az óra

T / τ \approx T / τ_{0}

lengést tesz, így a teljes késés:

\begin{matrix} Δ T = \frac{τ_{0}}{T} \frac{ε}{2} τ_{0} + \frac{2 τ_{0}}{T} \frac{ε}{2} τ_{0} + ... + \frac{T}{T} \frac{ε}{2} τ_{0}, \end{matrix}

mivel az egyes lengések a

t = τ_{0}

2 τ_{0}

...

T

időpontokban történtek.
A számtani sorozat összegképletét alkalmazva:

\begin{matrix} Δ T = \frac{τ_{0}}{T} \cdot \frac{ε}{2} \cdot τ_{0} (1 + 2 ... + \frac{T}{τ_{0}}) = \frac{τ_{0}}{T} \cdot \frac{ε}{2} \cdot τ_{0} \frac{1 + \frac{T}{τ_{0}}}{2} \cdot \frac{T}{τ_{0}} . \end{matrix}

Mivel

\frac{τ_{0}}{T}

sokkal nagyobb 1-nél, mellette 1 elhanyagolható, ezzel egyszerűsítés után:

Δ T = ϵ T / 4 = a ϑ T / 4

.
Helyettesítés után

Δ T = 4, 32 sec

Megjegyzés: A feladat megfogalmazásában sajtóhiba folytán a sárgaréz hőkiterjedési együtthatója tévesen:

0, 0002

Kunszt Zoltán (Pápa, Türr g. III. o. t.)