Kezdőlap


Feladat:	78. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Béres D. László , Fritz József , Gál Jenő , Perjés Zoltán , Székely J.
Füzet:	1961/január, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/szeptember: 78. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az acélfonál hosszúságát $L$ -lel, a megnyúlást $l$ -lel, a forgatott test tömegét $m$ -mel, a szögsebességet $ω$ -val. A huzalt feszítő centrifugális erő: $P = m ω^{2} (L + l)$ . Az acélfonál megnyúlásakor a benne ébredő rugalmas erő: $P = \frac{l q}{a I}$ , ahol $q$ a keresztmetszet területe, $a$ a nyújtási rugalmassági együttható. Egyensúly esetén e két erő egyenlő egymással: $m ω^{2} (L + l) = \frac{l q}{a L}$ , ahonnan a megnyúlás: $l = \frac{m ω^{2} L}{\frac{q}{L a} - m ω^{2}}$ .
A mi esetünkben az adatok $C G S$ egységekben kifejezve: $m = 10 000 g$ , $L = 200 cm$ , $ω = 2 π \cdot 5 {sec}^{- 1} \approx 31, 4 {sec}^{- 1}$ ,
$q = 40 {mm}^{2} = 0, 4 {cm}^{2}$ , $a = 45 \cdot 10^{- 6} {mm}^{2} / kp \approx 45, 87 \cdot 10^{- 14} {cm}^{2} / din$ és így azt kapjuk, hogy: $l \approx 0, 4537 cm =$ $= 4, 537 mm$ .
Az egyensúly természetének kérdése legjobban grafikusan tárgyalható. Ábrázoljuk derékszögű koordináta-rendszerben a centrifugális erőt és a rugalmas erőt az $x = L + l$ teljes fonálhossz függvényében.

A centrifugális erő:

P = m ω^{2} x

, a rugalmas erő:

\begin{matrix} P = \frac{q}{a L} (x - L), mert l = x - L . \end{matrix}

A centrifugális erő függését az origón átmenő, a rugalmas erő függését az

x = L

pontból kiinduló egyenes ábrázolja. Ezeknek metszéspontja (az erőegyenlőség) határozza meg az egyensúlyhoz tartozó

l

megnyúlást. Ha valamilyen oknál fogva a tömeg távolabbra kerül a középponttól, akkor a rugalmas erő nagyobb, mint a centrifugális erő, a tömeg visszatér az egyensúlyi távolságba. Ugyanez történik akkor is, ha a tömeg közelebb kerül a középponthoz. Tehát az egyensúly stabilis természetű.

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. IV. o. t.) és

Béres D. László (Bp., Jedlik g. IV. o. t.) dolgozatai alapján.

Megjegyzések: 1. A feladat megoldásánál eltekintettünk a jelenség valamilyen erőtérben, pl. nehézségi erőtérben való lefolyásának vizsgálatától. A hatás függ a forgástengely helyzetétől, de a nehézségi erőtér esetében oly kicsiny, hogy elhanyagolható.
2. Előfordulhat az adatok olyan értéke, amely mellett a rugalmas erő egyenese nem metszi a centrifugális erő egyenesét. Ekkor a fonál elszakad, nincs egyensúlyi távolság.

Ennek feltétele:

\begin{matrix} \frac{q}{a L} \leq m a^{2} . \end{matrix}

Számításainkban feltételeztük a Hooke-törvény érvényességét. Ha ez nem áll fenn, akkor a rugalmas erő egyenese megfelelő görbével helyettesítendő.

Vermes Miklós