Kezdőlap


Feladat:	68. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Bornes Klára , Góth László , Mezei Ferenc
Füzet:	1960/december, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Bolygómozgás, Kepler törvények, Feladat, Földrajzzal kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/május: 68. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A torony tetejéről elengedett testnek akkora kezdősebességet kell kapnia, hogy olyan ellipszispályán mozogjon, amelynek a Földhöz legközelebb eső pontja éppen a Föld felszínén van. Tehát földközelben a vezérsugár: $a - c = R$ , földtávolban $a + c = R + H$ . A test földtávolban kapott kezdősebessége $v_{a} = (R + H) cos φ$ , mivel a torony végpontja $(R + H) cos φ$ sugarú körön forog a Föld tengelye körül.
Az idézett cikk összefüggést ad az apheliumsebesség és a pályaadatok között

\begin{matrix} v_{a}^{2} = \frac{k M}{a} \cdot \frac{a - c}{a + c} . \end{matrix}

Ha ide behelyettesítjük az apheliumsebesség fenti értékét, továbbá az

a - c = R

a + c = R + H

értékeket, valamint a belőlük kiszámítható

a = R + H / 2

fél nagytengely-távolságot, kapjuk a

\begin{matrix} {(H + R)}^{2} ω^{2} cos^{2} φ = \frac{k M}{R + H / 2} \cdot \frac{R}{R + H} \end{matrix}

egyenletet, amelyet rendezve

\begin{matrix} {(H + R)}^{3} (2 R + H) = \frac{2 k M R}{ω^{2} cos^{2} φ} . \end{matrix}

Osszunk

R^{4}

-nel és vezessük be az

\frac{R + H}{R} = x

jelölést: (1)

\begin{matrix} x^{3} (x + 1) = \frac{2 k M}{ω^{2} R^{3} cos^{2} φ} = \frac{A}{cos^{2} φ}, \end{matrix}

(2)

ahol az állandókból alkotott kifejezést

A

-val jelöltük.
Értéke

A = \frac{2 k M}{ω^{2} R^{3}} \approx 585.

A (2) egyenlet

x

-ben negyedfokú, ezért a grafikon megrajzolásához először

cos φ

-t kifejezzük:

\begin{matrix} cos φ = \frac{1}{x} \sqrt[]{\frac{A}{x (x + 1)}} . \end{matrix}

(3)

Több

x

értéket felveszünk és kiszámítjuk a hozzátartozó

φ

-t. Ügyelünk arra, hogy a jobb oldal

1

-nél ne legyen nagyobb.
Értéktáblázatot készítünk.

\begin{matrix} x & 4,7 & 5 & 5,5 & 6 & 10 \\ cos φ & 1 & 0,883 & 0,736 & 0,623 & 0,231 \\ φ^{0} & 0 & 28,1 & 42,8 & 51,4 & 76,7 \end{matrix}

Az (1) összefüggésből az egyes

x

-ekhez tartozó

H

-értékeket kiszámíthatjuk, így a diagramból a kérdéses magasságokat megállapíthatjuk, habár elég pontatlanul.
Eszerint a kritikus toronymagasság
a) az Egyenlítőn

23 500 km (x = 4, 7)

,
b) Budapesten

30 000 km (x = 5, 7)

c) az Északi-sarkon nem létezik ilyen torony, amint az (2)-ből

cos φ = 0

miatt következik.

Bornes Klára (Bp., VII. Teleki B. g. III. o. t.) és

Bollobás Béla (Bp., Apáczai Cs. J. g. III. o. t.)

dolgozatai alapján

Megjegyzés: Többen, különösen azok, akik az idézett cikket nem olvasták, ellipszispálya helyett körpályával számoltak, amelyhez jóval nagyobb torony szükséges.