A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: A feladatban szereplő deformációt egyértelműen ki lehet számítani, aszerint kell azonban levonni, vagy hozzáadni az eredeti hosszhoz (összenyomás, vagy megnyúlás), hogy a hatóerő támadáspontja a gyorsulás irányában nézve megelőzi-e a rugó pontjait, vagy követi-e azokat. Számítsuk ki a deformáció abszolút értékét ! A rugó minden pontjára más és más deformáló erő hat. Az egyik végénél (a gyorsító erő támadáspontjánál) a deformációt okozó erő, a másik végénél 0. Ebből következik, hogy az eredeti rugón felvett egyenlő kis szakaszok különböző mértékben deformálódnak a gyorsulás alkalmával. A teljes deformációt kiszámíthatjuk oly módon, hogy a rugót hossza mentén beosztjuk képzeletben kis szakaszokra ‐ amelyeken belül közelítőleg állandónak tételezhetjük fel a ható erőt ‐, majd ezen kis szakaszok ,,elemi'' megnyúlásait összegezzük. Osszuk fel a rugót egyenlő részre. Egy-egy ilyen szakasz hossza , tömege , direkciós ereje , hiszen -szer kisebb rugószakaszt -szer nagyobb erővel kell ugyanakkorára megnyújtani (egységnyire). Jelöljük a erő támadáspontjával ellentétes rugóvéget -val, majd innen az egyes osztópontokat és -nel. mögött (húzás esetén) nincs rugó, az mögötti rugórész tömege , , , tehát ha a rugó minden pontja gyorsulással mozog, akkor a pontban ható erők rendre , , , . Az szakasz bármely belső pontjában 0-nál nagyobb, -nél kisebb erő hat, az szakasz belső pontjaiban -nél nagyobb, -nél kisebb, a szakasz belső pontjaiban -nél nagyobb, -nél kisebb stb. erő hat. Egy-egy rugószakasz bármely, a végpontoktól különböző pontjában nagyobb erő hat, mint a szakasz felőli végpontjában, de ez az erő kisebb, mint az felőli végpontjában fellépő erő. Most kiszámítjuk, mekkora lenne a rugó teljes megnyúlása, ha annak minden szakasza minden pontjában akkora erő működnék, mint az illető szakasz felőli végpontjánál. Ekkor ‐ az osztópontoktól eltekintve ‐ mindenütt kisebb erőt veszünk, mint a valóságos feszítőerő, tehát a ténylegesnél kisebb megnyúlást kapunk. Majd kiszámítjuk a megnyúlást úgy is, mintha minden szakasz minden pontjában akkora erő hatna, mint az illető szakasz felőli végpontjában. Ekkor a ténylegesnél nagyobb erővel számolunk, tehát a ténylegesnél nagyobb megnyúlást kapunk. Ekkor írható: , amivel -ra két korlátot (alsó és felső) kapunk, (amelyek mindig közrefogják -t !). Ha most a beosztást egyre finomítjuk, azaz az osztópontok számát minden határon túl növeljük , egyre inkább igaz lesz, hogy a kis szakaszok belső pontjaiban akkora erő működik, mint a végpontban számított erő. (Pontosabban: az elhanyagolás egyre kisebbedik.) Számítsuk ki a és -t ! Az alsó korlát kiszámításánál látjuk, hogy az szakaszt , , , . erő feszíti. Az egyes megnyúlások tehát | | Ezek összege adja meg a teljes megnyúlást: | | Vagy a számtani sorozat összegképletének felhasználásával:
Hasonlóképpen kapjuk -re: | | Most már alapján felírhatjuk: vagy másképpen: Ha értékét minden határon túl növeljük, az ,,alsó közelítő összeg'' egyre növekszik, a ,,felső közelítő összeg'' pedig egyre csökken, azaz egyre inkább megközelítik egymást, és mivel a valódi megnyúlás mindig e két érték között van, egyre inkább megközelítik a valódi megnyúlás értékét ! Mivel a bal oldalon és a jobb oldalon szereplő sorozatnak a határértéke (leolvashatóan) egybeesik, ez nem lehet más, mint . Így -ra, a valódi megnyúlásra kapjuk esetén (mivel ekkor ), hogy | | Az adatokat behelyettesítve:
Megjegyzés. Érdekes megfigyelni, hogy az így kapott megnyúlás feleakkora, mintha a rugó másik végét fallal támasztanánk meg (sztatikusan). A külső megtámasztás nélküli dinamikus esetben a feleakkora megnyúlást nem az okozza, hogy feleannyi a rá ható külső erő, hanem az erőhatás rugómenti lineáris csökkenése.
Székely Jenő (Pécs, Nagy Lajos g. III. o. t.) | II. megoldás: Az gyorsulással mozgó rendszer helyettesíthető egy olyan gravitációs erőtérrel, amelynél helyett -t írunk. Ha a rugót gravitációs erőtérbe helyezzük, saját súlya alatt összenyomódik, mégpedig oly módon, hogy az alsó menetek sűrűbben helyezkednek el, mint a felsők, mert a meneteket terhelő súly felülről lefelé nő. Az 1 menetre eső terhelés a rugó mentén lineárisan változik és 0 között, középértéke . Ezzel az értékkel számolva: | | Számértékekkel:
Pósch Margit (Bp., Veres Pálné g. IV. o. t.) |
|