Kezdőlap


Feladat:	37. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bürger Nándor , Csikor Ferenc , Horváth Sándor , Kiss Ádám , Kovács B. , Kunos Gy. , Maillot Gy. , Marton Dénes , Máté Zsolt , Mezei Ferenc , Molnár E. , Nagy Béla , Noszticzius Zoltán , Vesztergombi György , Zombory László
Füzet:	1960/szeptember, 40 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csúszó súrlódás, Tökéletesen rugalmas ütközések, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Szabadesés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1960/január: 37. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tartson az ütközés $Δ t$ ideig.
(1) A hasáb és a golyó közötti elhanyagolhatóan kicsi súrlódás miatt az ütközés a golyó szempontjából úgy tekinthető, mintha a hasáb ez alatt nem mozogna a golyó alatt. $\frac{Δ t}{2}$ idő alatt a golyó $\sqrt[]{2 L g} + g \frac{Δ t}{2}$ sebessége (az utóbbira az ütközés időtartama alatt is ható gravitációs vonzóerő folytán tesz szert) 0-ra csökken.
Ez azt jelenti, hogy golyónk ez alatt a $\frac{Δ t}{2}$ időtartam alatt

\begin{matrix} a = \frac{2 \sqrt[]{2 L g} + g Δ t}{Δ t} \end{matrix}

átlagos lassulással mozog.
Ezt a lassulást egy felfelé mutató

P = m \frac{2 \sqrt[]{2 L g}}{Δ t} + m g

átlagos erő hozza létre.
A következő

\frac{Δ t}{2}

időtartam alatt ezzel megegyező irányú és megegyező nagyságú átlagos gyorsító erő hat.
Ez Newton III. axiómája értelmében azt jelenti, hogy a

Δ t

idő alatt az átlagos nyomóerő:

\begin{matrix} P_{ny} = M g + P . \end{matrix}

Newton II. axiómája értelmében a sebesség megváltozása:

\begin{matrix} Δ v = \frac{P_{surl}}{M} Δ t = \frac{μ P_{ny}}{M} Δ t = μ g Δ t + \frac{μ m}{M} \frac{2 \sqrt[]{L g}}{Δ t} Δ t + \frac{μ m}{M} g Δ t . \end{matrix}

Δ t

általában elhanyagolhatóan kicsinek vehető, így a sebesség megváltozása:

\begin{matrix} Δ v \approx \frac{2 μ m}{M} \sqrt[]{2 L g}, \end{matrix}

és az új sebesség:

\begin{matrix} v_{1} = v - \frac{2 μ m}{M} \sqrt[]{2 L g} . \end{matrix}

(2) A súrlódás végtelen nagysága miatt már a

t = 0

időpillanatban megváltozik a sebesség:

\begin{matrix} Δ v_{1} = \frac{m v}{M + m} . \end{matrix}

Most az ütközés

Δ t

időtartama alatt csökken a golyó súlypontjának függőleges sebessége 0-ra. Ezt a lassulást az (1)-ben tárgyalt gondolatmenet alapján

\begin{matrix} P = m \frac{\sqrt[]{2 L g}}{Δ t} + m g \end{matrix}

erő hozza létre.
Így e

Δ t

időtartam alatt az átlagos súrlódó erő:

\begin{matrix} P_{surl} = μ (M g + m \frac{\sqrt[]{2 L g}}{Δ t} + m g) . \end{matrix}

Δ t

ideig hat

M + m

tömegre. Ha az előbbiek alapján a

Δ t

-t tartalmazó tagokat elhanyagoljuk:

\begin{matrix} Δ v \approx Δ v_{1} + \frac{μ m}{M + m} \sqrt[]{2 g L} = \frac{v m + μ m \sqrt[]{2 g L}}{M + m}, \end{matrix}

és az új sebesség:

\begin{matrix} v_{2} = v - \frac{v m + μ m \sqrt[]{2 g L}}{M + m} . \end{matrix}

Mind a két esetben gondolnunk kell azonban arra, hogy az új sebesség nem lehet negatív. Az eredmény tehát csak akkor igaz, ha a jobboldal nem negatív. Ellenkező esetben az új sebesség 0. Ilyenkor ugyanis a fékező hatások összege nagyobb, mint amennyi a hasáb megállításához szükséges lenne. De ha már egyszer megállt a hasáb, akkor megszűnik a fékező hatású súrlódás, más erő pedig, amely újból megindíthatná a hasábot, nem lép fel, tehát végeredményképpen a hasáb megáll.

Kiss Ádám és Horváth Sándor (Bp., II. Rákóczi F. g. IV. o.) tanulók dolgozatai alapján