Kezdőlap


Feladat:	33. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fritz József , Nagy Béla
Füzet:	1960/május, 198 - 199. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áramforrások belső ellenállása, Ellenállások soros kapcsolása, Ellenállások párhuzamos kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/december: 33. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kössünk sorba $s$ számú telepet, majd $p$ számú ilyen láncot párhuzamosan, ügyelve a helyes polaritásra. Nyilvánvalóan $p s = n (= 12)$ . Az eredő elektromotoros erő $s E (E = 1, 08 V)$ , míg az eredő belső ellenállás $s / p \cdot R_{b} (R_{b} = 3, 5 ohm$ ). Az $R_{k} = 10, 5 ohm$ külső ellenálláson tehát Ohm törvénye értelmében

\begin{matrix} I = \frac{s E}{\frac{s}{p} R_{b} + R_{k}} = \frac{n E}{s R_{b} + p R_{k}} \end{matrix}

(1)

áram fog folyni. Mivel

s

-et és

p

-t úgy választhatjuk, hogy szorzatuk állandó legyen, tehát az

s R_{b}

és

p R_{k}

mennyiségek szorzata is állandó kell, hogy legyen, azért a számtani és mértani közép közötti összefüggés miatt

l

maximális, (ha a nevező minimális), ha

s R_{b} = p R_{k}

. Az

s R_{b} = p R_{k}

s p = n

egyenletrendszer könnyen megoldható:

\begin{matrix} s = \sqrt[]{n \frac{R_{k}}{R_{b}}} p = \sqrt[]{n \frac{R_{b}}{R_{k}} .} \end{matrix}

(2)

A (2) alatti értékeket (1)-be írva a maximális áram

\begin{matrix} I_{{max}_{}^{}} = \frac{n E}{2 \sqrt[]{n R_{b} R_{k}}} = \frac{E \sqrt[]{n}}{2 \sqrt[]{R_{b} R_{k}}} \end{matrix}

(3)

A megadott numerikus adatok behelyettesítésével

s = 6

p = 2

I_{{max}_{}^{}} = 0, 3086 A

Nagy Béla (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzés: Engedjünk meg olyan kapcsolást is, ahol a párhuzamos és soros kapcsolások tetszőlegesen kombinálhatók, nemcsak a fenti ,,téglalap alakú'' elrendezésekben. Kimutatjuk, hogy most sem lehet a telepekből több áramot kivenni.
Egy telepből maximálisan

E^{2} / 4 R_{b}

teljesítmény vehető ki. Kapcsoljunk sorba két

E_{1}

R_{b_{1}}

E_{2}

R_{b_{2}}

telepet. Ekkor a maximálisan kivehető teljesítmény nem lehet nagyobb a két telepből külön külön kivehető teljesítmények összegénél:

\begin{matrix} \frac{1}{4} \frac{{(E_{1} + E_{2})}^{2}}{R_{b 1} + R_{b 2}} \leq \frac{E_{1}^{2}}{4 R_{b 1}} + \frac{E_{2}^{2}}{4 R_{b 2}}, \end{matrix}

mert megfelelő átrendezéssel az egyenlőtlenség

\begin{matrix} 0 \leq {(E_{1} R_{2} - E_{2} R_{1})}^{2} \end{matrix}

alakra hozható, amelyből állításunk igazsága szemmel látható.
Hasonlóan kimutatható a tétel párhuzamos kapcsolásra is.
Feladatunkra alkalmazva a tételt; igaz az, hogy az

n

számú telepből együttesen kivehető teljesítmény nem lehet nagyobb az egy telepből kivehető teljesítmény

n

-szeresénél. Tehát

\begin{matrix} R_{k} I_{{max}_{}^{}}^{2} \leq \frac{E^{2}}{4 R_{b}}, \end{matrix}

ahonnan következik (3), vagyis láttuk, hogy az optimális áram el is érhető.

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn. III. o. t.)