Kezdőlap


Feladat:	24. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fritz József , Gombkötö Mihály , Pogány Lajos
Füzet:	1960/április, 156 - 157. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Síkinga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/november: 24. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Először meghatározzuk, hogy mekkora lesz a keletkező ferde hajítás $v$ kezdősebessége. Az ábrából látható,^{$^{*}$} hogy a hinta a kötél elszakadásáig magasságából $Q' P' = O P' - O Q' = l \cdot cos α - h$ távolságot vesztett, ílymódon felírhatjuk azt a helyzeti energiát, amely mozgási energiává átalakulva meghatározza a hajítás kezdősebességét:

\begin{matrix} m g (l cos α - h) = 1 / 2 \cdot m v^{2}, \end{matrix}

ahol

m

a hinta tömege,

g

a nehézségi gyorsulás. Innen

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g (l cos α - h)} . \end{matrix}

(1)

Helyezzük el az ábrán látható koordinátarendszert. A

P

origóból induló ferde hajtás kezdősebességének összetevői

v_{x} = v \cdot cos α

és

v_{y} = v \cdot sin α

. A pálya egyenlete, ha az időt a kötél elszakadásától számítjuk:

\begin{matrix} x = v \cdot cos α \cdot t, y = v \cdot sin α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2} . \end{matrix}

(2)

Kiküszöbölve a

t

időt,

y = - \frac{g}{2 v^{2} cos^{2} α} x^{2} + \frac{sin α}{cos α} x

.

A jobboldalon teljes négyzetté alakítással:

y = - \frac{g}{2 v^{2} cos^{2} α} {(x - x_{0})}^{2} + y_{0}

.

Az

x_{0}, y_{0}

állandókat (a parabola csúcspontjának koordinátáit) meg sem kell határoznunk, máris látjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{g}{2 v^{2} cos^{2} α} = \frac{1}{2 p}, \end{matrix}

ahol a

p

a parabola paramétere. A fókusztávolság

\begin{matrix} f = \frac{p}{2} = \frac{v^{2} cos^{2} α}{2 g} = (l cos α - h) cos^{2} α, \end{matrix}

miután az (1) alatti kezdősebességet behelyettesítettük.
A megadott értékek behelyettesítésével

\begin{matrix} f = (10 \frac{\sqrt[]{3}}{2} - 1) \frac{3}{4} m = \frac{3}{4} (5 \sqrt[]{3} - 1) m = 5, 745 m . \end{matrix}

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.)

II. megoldás: Ismeretes (és a (2) egyenletekből könnyen kiszámítható), hogy egy

α

szög alatt elhajított

v

kezdősebességű test hajítási magassága

S_{y} = \frac{v^{2}}{2 g} sin^{2} α

, vízszintes hajítási távolsága pedig

S_{x} = \frac{v^{2}}{g} sin 2 α

. Könnyen belátható, hogy

\frac{S_{x}}{2}

és

S_{y}

a parabolapálya csúcspontjában elhelyezett koordinátarendszerben az indítási (

P

) pont két koordinátája, így kielégítik a parabola egyenletét, vagyis

\begin{matrix} {(\frac{S_{x}}{2})}^{2} = 2 p \cdot S_{y} . \end{matrix}

Behelyettesítve:

{(\frac{v^{2}}{2 g})}^{2} \cdot sin^{2} 2 α = 2 p \frac{v^{2}}{2 g} sin^{2} α

,

ahonnan

f = \frac{p}{2} = \frac{v^{2}}{2 g} \cdot \frac{sin^{2} 2 α}{4 sin^{2} α} = \frac{v^{2}}{2 g} cos^{2} α

,

tovább, mint az I megoldásban.

Gombkötő Mihály (Orosháza, Táncsics M. g. IV. o. t.)

III. megoldás: Amikor a ferdén elhajított tömegpont a fókusszal egy magasságban lesz, akkor a parabola tulajdonságaiból folyólag

F B

(vagy

A F

)

= 2 f

, mert a parabola direktrixétől a

B

(ill.

A

) pont ekkor

2 f

távolságra van.
A

C B

útszakaszon a mozgó tömegpont

C F = \frac{1}{2} g t'^{2} = f

úton szabadesést (

t' = O

C

pontban) és

v_{x} = v \cdot cos α

sebességű vízszintes egyenletes mozgást végez, mialatt

F B = v \cdot cos α \cdot t' = 2 f

utat tesz meg.
Az utóbbiból

t' = \frac{2 f}{v \cdot cos α},

amit az előbb felírt egyenletbe írva

\frac{1}{2} g {(\frac{2 f}{v \cdot cos α})}^{2} = f,

ahonnan

f = \frac{v^{2}}{2 g} cos^{2} α .

Tovább, mint fent.

Pogány Lajos (Budapest, Eötvös g. III. o. t.)

^{$^{*}$}Az ábra műszaki okokból számunkból kimaradt.