Kezdőlap


Feladat:	20. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Katona Mária , Máté Eörs , Nagy Dénes Lajos , Rozváczy Judit
Füzet:	1960/április, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Csúszó súrlódás, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/november: 20. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: a) A fonalat akkora $P_{a}$ erő feszíti, amely $M$ -et $a_{1}$ gyorsulással mozgatja, vagyis amelyre $a_{1} = P_{a} / M$ . Az $m$ tömegű testre két erő hat: lefelé a saját súlya: $m g$ , felfelé $P_{a}$ . Az $m$ tömegű testgyorsulása $a_{2} = \frac{m \cdot g - P_{a}}{m}$ . A fonál nyújthatatlan, ezért a két test gyorsulása megegyezik, $a_{1} = a_{2}$ . Innen $\frac{P_{a}}{M} = \frac{m g - P_{a}}{m}$ és rendezés után a keresett erő: $P_{a} = M \frac{m}{m + M} g$ .
b) A fonalat most akkora erő feszíti $(P_{b})$ , amelyből a súrlódó erőt levonva az $M$ tömegű testet gyorsító komponenst kapjuk, vagyis: $a_{1} = \frac{P_{b} - μ M g}{M}$ másrészt az $m$ tömeget a fentiekhez hasonlóan $a_{2} = \frac{m g - P_{b}}{m}$ gyorsulást okozó erő mozgatja. A gyorsulások egyenlősége alapján : $\frac{P_{b} - μ M g}{M} = \frac{m g - P_{b}}{m}$ ahonnan: $P_{b} = \frac{m M (1 + μ)}{m + M} g$ vagy:
$P_{b} = P_{a} (1 + μ)$ .

Nagy Dénes Lajos (Bp. II. Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: Vizsgáljuk először a feladat második felét, hiszen az első kérdés annak speciális esete. Ekkor az egész rendszerre ható erő

P = m g - μ M g

. Ebből a gyorsulás:

a = \frac{m g - μ M g .}{m + M}

. Ezt a gyorsulást az

M

tömegű testnél a kötélerő és a vele ellentétes súrlódás hozza létre, azaz:

P_{kötél} - P_{súrlódás} = M a

, ahonnan átrendezve és behelyettesítve:

P_{kötél} = μ M g + M \frac{m - μ M}{m + M} g

. Összevonva:

P_{kötél} = \frac{m M}{m + M} (1 + μ) g

.
a) Az első kérdésre megkapjuk a választ, ha

μ = 0

értéket adunk, vagyis

P_{kötél} = \frac{m M}{m + M} g

Rozváczy Judit (Bp. Szilágyi E.. lg. II. o. t.)

és Máté Eörs (Szeged, Radnóti g. II. o. t.)

III. megoldás: a) Az

m + M

tömegű rendszert

P = m g

erő gyorsítja, vagyis a gyorsulás

a = \frac{m \cdot g}{m + M .}

M

tömegű kocsit épp a fonalat feszítő erő mozgatja, amely ezek szerint

P_{f} = M \cdot a = \frac{m M \cdot g}{m + M}

.
b) Ha a súrlódó erőt figyelembe vesszük, a rendszert csak az

m g - μ M g

erő gyorsítja, a gyorsulás tehát

a = \frac{m g - μ M g}{m + M}

. A fonalat feszítőerőnek a kocsi gyorsításán kívül most le kell győznie a súrlódást is, vagyis:

\begin{matrix} P_{f} = M a + P_{s} = M \frac{m g - μ M g}{m + M} + μ M g = \frac{m M g}{m + M} (1 + μ) . \end{matrix}

Katona Mária (Bp., Szilágyi E. g. II. o. t.)

IV. megoldás: Az energiamegmaradás és munkatétel alapján: Az

m

tömegű test helyzeti energiájának megváltozása egyenlő a rendszer mozgási energiájának növekedésével és a súrlódási munkával. Az indulástól számított tetszőleges

t

idő múlva az energiaviszonyok:

\begin{matrix} m g \frac{a t^{2}}{2} = \frac{1}{2} (M + m) \cdot a^{2} \cdot t^{2} + μ M g \frac{a t^{2}}{2}, \end{matrix}

ahonnan

\frac{a t^{2}}{2}

-vel való egyszerűsítés után

a = \frac{m g - μ M g}{m + M}

. (Másképpen: ha a rendszer eredeti energiája

E

, akkor az energiamegmaradás szerint érvényes:

E = E + a^{2} t^{2} \frac{M + m}{2} - m g \frac{a t^{2}}{2} + μ M g \frac{a t^{2}}{2}

, ahol az utolsó tag a rendszerben keletkező hőenergiával egyenlő. Mindkét oldalon

E

-t elhagyva, az előzőt kapjuk.)
A feszítőerő munkája:

P \cdot \frac{a}{2} t^{2} = μ M g \frac{a}{2} t^{2} + M \cdot \frac{a^{2}}{2} t^{2}

, ahonnan

\frac{a t^{2}}{2}

-vel egyszerűsítve és a fenti értékét behelyettesítve:

P = \frac{m M}{m + M} g (1 + μ)

Bollobás Béla (Bp., Apáczai Csere J. g. III. o. t.)