Kezdőlap


Feladat:	5. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fritz József , Mezei Ferenc
Füzet:	1959/december, 196 - 197. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1959/szeptember: 5. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A találkozás pillanatáig $m$ szabadesést végez. Az $l$ út megtételéhez szükséges idő: $t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 l}{g}}$ . Sebessége az ütközés pillanatában: $v_{1} = g \cdot t_{1} = \sqrt[]{2 l g}$ . Az ütközéskor $m$ mozgási energiáját részben átadja a $\frac{16}{7}$ $M$ tömegű rendszernek. Ha az így nyert közös sebesség $v_{0}$ , akkor a mozgásmennyiség megmaradásának elve alapján:

\begin{matrix} \frac{16}{7} M v_{0} = \frac{2}{7} M v_{1}, ebből: v_{0} = \frac{\sqrt[]{2 l g}}{8} . \end{matrix}

Az ütközés után a jobboldali túlsúly,

\frac{2}{7} M g

erő hatására a

2 \frac{2}{7} M

tömegű rendszer

v_{0}

kezdősebesség gyorsuló mozgást végez, ahol a gyorsulás Newton II. törvénye szerint:

\begin{matrix} a = \frac{\frac{2}{7} M g}{2 \frac{2}{7} M} = \frac{g}{8} . \end{matrix}

Ha az

l

utat

t_{2}

idő alatt teszi meg, akkor

l = v_{0} t_{2} + \frac{a}{2} t_{2}^{2} = \frac{\sqrt[]{2 l g}}{8} \cdot t_{2} + \frac{g}{16} \cdot t_{2}^{2}

, így

\begin{matrix} g t_{2}^{2} + 2 \sqrt[]{2 l g} \cdot t_{2} - 16 l = 0. \end{matrix}

Ebből

t_{2}

-t kifejezve (a negatív gyöknek ebben az esetben nincs fizikai jelentése)

\begin{matrix} t_{2} = \frac{- 2 \sqrt[]{2 l g} + \sqrt[]{8 l g + 64 l g}}{2 g} = (\sqrt[]{18} - \sqrt[]{2}) \sqrt[]{\frac{l}{g}} = 2 \sqrt[]{\frac{2 l}{g}} . \end{matrix}

A keresett idő tehát

\begin{matrix} t = t_{1} + t_{2} = 3 \sqrt[]{\frac{2 l}{g}} . \end{matrix}

Fritz József (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. III. o. t.)

Megjegyzések: 1. A másodfokú egyenlet megoldásánál fellépő negatív gyök azt az időtartamot jelenti, amellyel az ütközési pillanat előtt lett volna a test

l

távolságra az ütközés helyétől, ha az ütközés előtt is az

s = \frac{\sqrt[]{2 l g}}{8} t + \frac{g}{16} t^{2}

egyenlet által leírt módon mozgott volna. 2. A feladat második részét másképpen is tárgyalhatjuk a következő észrevétel segítségével: ha a baloldali kötélen

M

, a jobboldalin

M + \frac{2}{7} M

tömegű súly függ, a

t = 0

időpontban kezdősebesség nélkül elindítva a rendszert,

(l + \frac{l}{8})

utat tesz meg a keresett időtartam alatt. Ugyanis az eredeti mozgásnál az esési szakaszra

t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 l}{g}}

. Most

l

helyett

\frac{l}{8}

szakaszon,

g

helyett

\frac{g}{8}

gyorsulással mozog a rendszer, de a mozgás ezen szakaszához szükséges idő nem változik:

t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 \frac{l}{8}}{\frac{g}{8}}}

. Mivel akkor az

\frac{l}{8}

út megtétele után a sebesség

v_{1} = t_{1} \frac{g}{8} = \frac{\sqrt[]{2 l g}}{8}

, azaz egyenlő közvetlenül az ütközés utáni sebességgel az eredeti mozgásnál, a hátralevő úton az eredeti és ezen utóbbi mozgás azonos. Tehát a keresett

t

időre:

\begin{matrix} l + \frac{l}{8} = \frac{\frac{g}{8}}{2} t^{2}, azaz t = \sqrt[]{\frac{9 \cdot 16 l}{8 g}} = 3 \sqrt[]{\frac{2 l}{g}} . \end{matrix}

Mezei Ferenc (Bp., II. Rákóczi F. g. IV. o. t.)

(Sok tanuló a rugalmatlan ütközésnél csak a jobboldali

M

tömeget vette figyelembe, holott a kötél által a baloldali súly is részt vesz az ütközésben. Néhány más dolgozat rugalmatlan ütközésre az energiamegmaradás törvényét alkalmazta, ez azonban hibás, mivel a rugalmatlan ütközés (súrlódás, hőfejlődés stb. miatt) mechanikai energiaveszteséggel jár.)