|
Feladat: |
1938. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bán T. , Bizám György , Csáki Frigyes , Deák András , Faludy J. , Fonó András , Fonó Katalin , Fonó Péter , Freud Géza , Gantner Jenő , Gutmann István , Hajnal Miklós , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Kaiser K. , Kézdi Ferenc , Klein József , Kovács L. , Mendelsohn György , Mészáros J. , Nádler M. , Pallós Károly , Petrovics J. , Sándor Gyula , Sulner László , Sziklaváry J. , Taksony György , Trunkó I. , Volena-Koczor Imre |
Füzet: |
1939/január,
109 - 111. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Természetes számok, Számsorok, Egyenlőtlenségek, Különleges függvények, Függvényvizsgálat, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1938/november: 1938. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 2. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Ha és a baloldali összegben, -től kezdve minden nevező helyébe a nála nagyobb -t tesszük, akkor mindegyik tört értéke kisebb lesz és így | |
Minthogy az -t követő tagok száma ,
Gantner Jenő (Szent-István g. VII. o. Bp. XIV.).
II. Megoldás. , mert .
azaz .
Kimutatjuk általában, hogy .
Ugyanis
A szögletes zárójelben foglalt összeget kisebbítjük, ha minden tagjában a legnagyobb nevezőt, -t vesszük; a tagok száma pedig . Eszerint | |
Ezen kisebbítéssel azonban még mindig -nél többet kapunk, ha . T. i. | | ha .Tehát | |
Kimondhatjuk tehát, hogy az -nel monoton növekedő; mivel , egyszersmind .
Taksony György (Ág. ev. g. VIII. o. Bp.)
III. Megoldás. Bontsuk az összeg azon részét, mely -t követi, részletösszegekre; ezek mindegyikét kisebbítjük, ha mindegyik helyébe a legkisebbiket (utolsót) vesszük. Ezen részletösszegek mindegyikében a tagok száma , Tehát:
Eszerint | |
Haraszthy András (Szent László g. VI. o. Bp. X.) |
|