|
Feladat: |
1928. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Brünn R. , Dery E. , Erdős Pál , Fuchs S. , Grünwald T. , Hajós György , Ligeti M. , Papp L. , Schichtanz E. , Sebestyén J. , Soldinger J. , Székely I. , Székely Lilly , Szolovits D. , Vági L. , Walient P. |
Füzet: |
1929/február,
163 - 164. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Sík geometriája, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Geometriai egyenlőtlenségek, Vetítések, Pont körüli forgatás, Kör geometriája, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1928/december: 1928. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az , ill. pontnak az egyenesen való merőleges vetülete legyen , ill. és tegyük fel a következőkben, hogy . Ha az és pontok összeesnek, akkor nyilván | |
Legyen már most az távolság felezőpontja , ennek vetülete az egyenesen . Az pontban az egyenesre állított merőleges az egyenest a pontban metszi.
Ha , akkor az -be esik. Ha most az egyenest az pont körül úgy forgatjuk, hogy akkor az -től az felé mozog. És most két esetet kell megkülönböztetnünk, aszerint, amint a az vonaldarabra esik, de beleszámítva e vonaldarab határpontjait, vagy pedig az -n kívül esik, de az egyenesnek által határolt részére. Megoldásunk alapjául két tétel szolgál: 1) Ha az vonaldarabra, ennek felezőpontjában merőleges állítunk, akkor a sík ama pontjai, amelyek ezen merőlegeshez viszonyítva az ponttal ugyanazon félsíkban feküsznek, az ponthoz közelebb vannak, mint a ponthoz, amelyek pedig a ponttal feküsznek ugyanazon félsíkban, a ponthoz közelebb vannak, mint az -hoz. 2) Valamely pontból az adott egyeneshez húzott távolságok közül az nagyobb, amelyiknek talppontja a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontjától messzebb van. a) Ha a pont az vonaldarabra esik, beleszámítva e vonaldarab határpontjait is, akkor a legkisebb értéke . Legyen ugyanis a pont az egyenes másik részén, mely az -hez viszonyítva a ponttal a sík ugyanazon felében van. Ekkor | |
Ha pedig a pont az egyenes másik részén van, az -hez viszonyítva az ponttal ugyanaz félsíkban, akkor | |
Ezek szerint ami állításunkat igazolja. b) az vonaldarabon kívül esik, az egyenesnek az pont által határolt részére.
Ha most az egyenes azon részén van, mely az -hez viszonyítva a ponttal a sík ugyanazon felében van (a helyzetben), akkor Ha az egyenes másik részén van, akkor Tehát ebben az esetben a legkisebb értéke: .
Székely Lilly (izr. leánygimn. VIII. o. Bp.) | Jegyzet. Néhány megoldás a következő meggondoláson alapszik: Ha és , mint középpont körül az sugárral kört rajzolunk, két eset állhat elő: 1) a pont ezen körön vagy ezen körön belül, 2) a körön kívül fekszik. Az 1) esetben legkisebb értéke , a 2) esetben az távolságot merőlegesen felező egyenesnek az -vel való metszőpontja. Mindez igaz, azonban hiányzik a megfelelő bizonyítás; a bizonyítás azonban visszavezet a megoldásunkban tárgyalt esetekhez. Kimutatható, hogy az 1) esetben a pont nem fekszik az és közölt, míg a 2) esetben és között fekszik. (L. a 465. feladatot.) Hogy az és pontok az egyenes ugyanazon vagy ellenkező oldalán vannak, nem játszik szerepet.
|
|