Feladat: 1928. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Brünn R. ,  Dery E. ,  Erdős Pál ,  Fuchs S. ,  Grünwald T. ,  Hajós György ,  Ligeti M. ,  Papp L. ,  Schichtanz E. ,  Sebestyén J. ,  Soldinger J. ,  Székely I. ,  Székely Lilly ,  Szolovits D. ,  Vági L. ,  Walient P. 
Füzet: 1929/február, 163 - 164. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sík geometriája, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Geometriai egyenlőtlenségek, Vetítések, Pont körüli forgatás, Kör geometriája, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1928/december: 1928. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A, ill. B pontnak az e egyenesen való merőleges vetülete legyen A', ill. B' és tegyük fel a következőkben, hogy AA'>BB'. Ha az A' és B' pontok összeesnek, akkor nyilván

max(AP,BP)=APésAPmin=AA'.

Legyen már most az AB távolság felezőpontja O, ennek vetülete az e egyenesen O'. Az O pontban az AB egyenesre állított merőleges az e egyenest a C pontban metszi.
 
 

Ha AA'=BB', akkor C az O'-be esik. Ha most az AB egyenest az O pont körül úgy forgatjuk, hogy AA'>BB' akkor C az O'-től az A' felé mozog. És most két esetet kell megkülönböztetnünk, aszerint, amint a C az A'O' vonaldarabra esik, de beleszámítva e vonaldarab határpontjait, vagy pedig az A'O'-n kívül esik, de az e egyenesnek A' által határolt részére.
Megoldásunk alapjául két tétel szolgál: 1) Ha az AB vonaldarabra, ennek O felezőpontjában merőleges állítunk, akkor a sík ama pontjai, amelyek ezen merőlegeshez viszonyítva az A ponttal ugyanazon félsíkban feküsznek, az A ponthoz közelebb vannak, mint a B ponthoz, amelyek pedig a B ponttal feküsznek ugyanazon félsíkban, a B ponthoz közelebb vannak, mint az A-hoz.
2) Valamely pontból az adott egyeneshez húzott távolságok közül az nagyobb, amelyiknek talppontja a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontjától messzebb van.
a) Ha a C pont az A'O' vonaldarabra esik, beleszámítva e vonaldarab határpontjait is, akkor a max(AP,BP) legkisebb értéke AC=BC.
Legyen ugyanis a P pont az e egyenes másik részén, mely az OC-hez viszonyítva a B ponttal a sík ugyanazon felében van. Ekkor
max(AP,BP)=APACmertA'PA'C.

Ha pedig a P pont az e egyenes másik részén van, az OC-hez viszonyítva az A ponttal ugyanaz félsíkban, akkor
max(AP,BP)=BPBCmertB'PCP.

Ezek szerint
max(AP,BP)AC=BC,
ami állításunkat igazolja.
b) C az A'O' vonaldarabon kívül esik, az e egyenesnek az A' pont által határolt részére.
 
 

Ha most P az egyenes azon részén van, mely az OC-hez viszonyítva a B ponttal a sík ugyanazon felében van (a P1 helyzetben), akkor
max(AP,BP)=APAA'.
Ha P az egyenes másik részén van, akkor
max(AP,BP)=BPBC=AC>AA'.
Tehát ebben az esetben a max(AP,BP) legkisebb értéke: AA'.
 

Székely Lilly (izr. leánygimn. VIII. o. Bp.)
 

Jegyzet. Néhány megoldás a következő meggondoláson alapszik:
Ha AA'>BB' és A', mint középpont körül az AA' sugárral kört rajzolunk, két eset állhat elő: 1) a B pont ezen körön vagy ezen körön belül, 2) a körön kívül fekszik.
Az 1) esetben max(AP,BP) legkisebb értéke AA', a 2) esetben az AB távolságot merőlegesen felező egyenesnek az e-vel való C metszőpontja.
Mindez igaz, azonban hiányzik a megfelelő bizonyítás; a bizonyítás azonban visszavezet a megoldásunkban tárgyalt esetekhez. Kimutatható, hogy az 1) esetben a C pont nem fekszik az A' és B' közölt, míg a 2) esetben A' és B' között fekszik. (L. a 465. feladatot.)
Hogy az A és B pontok az e egyenes ugyanazon vagy ellenkező oldalán vannak, nem játszik szerepet.