Kezdőlap


Feladat:	1928. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Brünn R. , Dery E. , Erdős Pál , Fuchs S. , Grünwald T. , Hajós György , Ligeti M. , Papp L. , Schichtanz E. , Sebestyén J. , Soldinger J. , Székely I. , Székely Lilly , Szolovits D. , Vági L. , Walient P.
Füzet:	1929/február, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sík geometriája, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Geometriai egyenlőtlenségek, Vetítések, Pont körüli forgatás, Kör geometriája, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1928/december: 1928. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A$ , ill. $B$ pontnak az $e$ egyenesen való merőleges vetülete legyen $A'$ , ill. $B'$ és tegyük fel a következőkben, hogy $A A' > B B'$ . Ha az $A'$ és $B'$ pontok összeesnek, akkor nyilván

\begin{matrix} {max}_{}^{} (A P, B P) = A P és A P_{{min}_{}^{}} = A A' . \end{matrix}

Legyen már most az

A B

távolság felezőpontja

O

, ennek vetülete az

e

egyenesen

O'

. Az

O

pontban az

A B

egyenesre állított merőleges az

e

egyenest a

C

pontban metszi.

A A' = B B'

, akkor

C

O'

-be esik. Ha most az

A B

egyenest az

O

pont körül úgy forgatjuk, hogy

A A' > B B'

akkor

C

O'

-től az

A'

felé mozog. És most két esetet kell megkülönböztetnünk, aszerint, amint a

C

A' O'

vonaldarabra esik, de beleszámítva e vonaldarab határpontjait, vagy pedig az

A' O'

-n kívül esik, de az

e

egyenesnek

A'

által határolt részére.
Megoldásunk alapjául két tétel szolgál: 1) Ha az

A B

vonaldarabra, ennek

O

felezőpontjában merőleges állítunk, akkor a sík ama pontjai, amelyek ezen merőlegeshez viszonyítva az

A

ponttal ugyanazon félsíkban feküsznek, az

A

ponthoz közelebb vannak, mint a

B

ponthoz, amelyek pedig a

B

ponttal feküsznek ugyanazon félsíkban, a

B

ponthoz közelebb vannak, mint az

A

-hoz.
2) Valamely pontból az adott egyeneshez húzott távolságok közül az nagyobb, amelyiknek talppontja a pontból az egyenesre bocsátott merőleges talppontjától messzebb van.
a) Ha a

C

pont az

A' O'

vonaldarabra esik, beleszámítva e vonaldarab határpontjait is, akkor a

{max}_{}^{} (A P, B P)

legkisebb értéke

A C = B C

.
Legyen ugyanis a

P

pont az

e

egyenes másik részén, mely az

O C

-hez viszonyítva a

B

ponttal a sík ugyanazon felében van. Ekkor

\begin{matrix} {max}_{}^{} (A P, B P) = A P ≧ A C mert A' P ≧ A' C . \end{matrix}

Ha pedig a

P

pont az

e

egyenes másik részén van, az

O C

-hez viszonyítva az

A

ponttal ugyanaz félsíkban, akkor

\begin{matrix} {max}_{}^{} (A P, B P) = B P ≧ B C mert B' P ≧ C P . \end{matrix}

Ezek szerint

\begin{matrix} {max}_{}^{} (A P, B P) ≧ A C = B C, \end{matrix}

ami állításunkat igazolja.
b)

C

A' O'

vonaldarabon kívül esik, az

e

egyenesnek az

A'

pont által határolt részére.

Ha most

P

az egyenes azon részén van, mely az

O C

-hez viszonyítva a

B

ponttal a sík ugyanazon felében van (a

P_{1}

helyzetben), akkor

\begin{matrix} {max}_{}^{} (A P, B P) = A P ≧ A A' . \end{matrix}

P

az egyenes másik részén van, akkor

\begin{matrix} {max}_{}^{} (A P, B P) = B P ≧ B C = A C > A A' . \end{matrix}

Tehát ebben az esetben a

{max}_{}^{} (A P, B P)

legkisebb értéke:

A A'

Székely Lilly (izr. leánygimn. VIII. o. Bp.)

Jegyzet. Néhány megoldás a következő meggondoláson alapszik:
Ha

A A' > B B'

és

A'

, mint középpont körül az

A A'

sugárral kört rajzolunk, két eset állhat elő: 1) a

B

pont ezen körön vagy ezen körön belül, 2) a körön kívül fekszik.
Az 1) esetben

{max}_{}^{} (A P, B P)

legkisebb értéke

A A'

, a 2) esetben az

A B

távolságot merőlegesen felező egyenesnek az

e

-vel való

C

metszőpontja.
Mindez igaz, azonban hiányzik a megfelelő bizonyítás; a bizonyítás azonban visszavezet a megoldásunkban tárgyalt esetekhez. Kimutatható, hogy az 1) esetben a

C

pont nem fekszik az

A'

és

B'

közölt, míg a 2) esetben

A'

és

B'

között fekszik. (L. a 465. feladatot.)
Hogy az

A

és

B

pontok az

e

egyenes ugyanazon vagy ellenkező oldalán vannak, nem játszik szerepet.