Feladat: 1927. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke I. ,  Bucsy I. ,  Böszörményi Gy. ,  Camhi S. ,  Csalán E. ,  Dénes György ,  Deutsch T. ,  Doktorits I. ,  Erdélyi László ,  Gerő L. ,  Glosios T. ,  Grünhut Pál ,  Hajós György ,  Hapka I. ,  Jacobi A. ,  Jónás P. ,  Juvancz Ireneusz ,  Klein Eszter ,  Klein M. ,  Klein T. ,  Löbl E. ,  Márkus L. ,  Molnár L. ,  Neufeld Béla ,  Pápay M. ,  Párducz N. ,  Petrovits G. ,  Pollák A. ,  Rosenthal E. ,  Schlüsser E. ,  Scholcz P. ,  Shopp J. ,  Sréter J. ,  Sveiczer M. ,  Székely Gy. ,  Székely Lilly ,  Szekeres Gy. ,  Szmodics Z. ,  Szolovits D. ,  Turán Pál ,  Ulmer R. ,  Vági L. ,  Vasváry L. ,  Virányi I. ,  Wachsberger Márta ,  Wolf P. ,  Wolkóber László 
Füzet: 1928/január, 146 - 147. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Hozzáírt körök, Beírt kör, Mértani közép, Beírt kör középpontja, Húrnégyszögek, Szögfelező egyenes, Pont körre vonatkozó hatványa, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1927/november: 1927. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen az ABC-be beírt kör középpontja I, érintési pontja a BC oldalon K; a szóban forgó hozzáírt kör középpontja I1, érintési pontja a BC oldalon K1.

 
 

A B, C, I, I1, pontok oly körön feküsznek, melynek átmérője II1; ugyanis a BI belső és BI1 külső szögfelezők egymásra merőlegesek, hasonlóképen CI és CI1 is.1 Másrészt a K és K1 pontok ‐ a 294. sz. feladat szerint (l. IV. évf, 3. sz.) ‐ a BC oldal M felezőpontjától egyenlő távolságban vannak; ha tehát K1 pontban BC-re merőlegest állítunk, amíg az előbb említett kört I' pontban metszi, akkor I'K1=IK=ϱ és I1K1=ϱa. Már most az egy ponton átmenő húrok szeleteire vonatkozó törvény szerint:
ϱϱa=I'K1¯K1I1¯=BK1¯K1C¯.

A K1 pont a BC oldalt két részre osztja. Ha egy távolságot (egy számot) két részre oszlunk, a részek szorzatának maximumát akkor kapjuk, ha a két rész egyenlő, azaz
ϱϱa=BK¯1K1C¯(BC2)2vagyisϱϱaBC2.

Hajós György (Kegyesrendi gimn. VII. o. Bp.)

 

II. Megoldás. Ha az II' szögfelező BC-t D pontban metszi, akkor ‐ az előbb idézett tétel értelmében: ID¯I'D¯=BD¯DC¯.
Azonban IDϱ és I'Dϱa, tehát ϱϱaBD¯DC¯(BC2)2.
 

Dénes György (áll. főreál. VII. o. Szombathely.)

 

III. Megoldás. Ismeretes képletek: ϱ=ts és ϱa=ts-a
ϱϱa=t2s(s-a)=s(s-a)(s-b)(s-c)s(s-a)=(s-b)(s-c).

Az s-b és s-c tényezők ősszege: 2s-(b+c)=a, azaz állandó; tehát szorzatuk maximum, ha a tényezők egyenlők, azaz ha
s-b=s-c=a2.
Eszerint:
ϱϱa=(s-b)(s-c)(a2)2vagyisϱϱaa2.

Székely Lilly (izr. leánygimn. VIII. o. Bp.)

1L. még a 306. feladatban. (IV. évl, 4. sz.)