Kezdőlap


Feladat:	1927. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke I. , Bucsy I. , Böszörményi Gy. , Camhi S. , Csalán E. , Dénes György , Deutsch T. , Doktorits I. , Erdélyi László , Gerő L. , Glosios T. , Grünhut Pál , Hajós György , Hapka I. , Jacobi A. , Jónás P. , Juvancz Ireneusz , Klein Eszter , Klein M. , Klein T. , Löbl E. , Márkus L. , Molnár L. , Neufeld Béla , Pápay M. , Párducz N. , Petrovits G. , Pollák A. , Rosenthal E. , Schlüsser E. , Scholcz P. , Shopp J. , Sréter J. , Sveiczer M. , Székely Gy. , Székely Lilly , Szekeres Gy. , Szmodics Z. , Szolovits D. , Turán Pál , Ulmer R. , Vági L. , Vasváry L. , Virányi I. , Wachsberger Márta , Wolf P. , Wolkóber László
Füzet:	1928/január, 146 - 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Hozzáírt körök, Beírt kör, Mértani közép, Beírt kör középpontja, Húrnégyszögek, Szögfelező egyenes, Pont körre vonatkozó hatványa, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1927/november: 1927. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen az $A B C ▵$ -be beírt kör középpontja $I$ , érintési pontja a $B C$ oldalon $K$ ; a szóban forgó hozzáírt kör középpontja $I_{1}$ , érintési pontja a $B C$ oldalon $K_{1}$ .

B

C

I

I_{1}

, pontok oly körön feküsznek, melynek átmérője

I I_{1}

; ugyanis a

B I

belső és

B I_{1}

külső szögfelezők egymásra merőlegesek, hasonlóképen

C I

és

C I_{1}

is.¹ Másrészt a

K

és

K_{1}

pontok ‐ a 294. sz. feladat szerint (l. IV. évf, 3. sz.) ‐ a

B C

oldal

M

felezőpontjától egyenlő távolságban vannak; ha tehát

K_{1}

pontban

B C

-re merőlegest állítunk, amíg az előbb említett kört

I'

pontban metszi, akkor

I' K_{1} = I K = ϱ

és

I_{1} K_{1} = ϱ_{a}

. Már most az egy ponton átmenő húrok szeleteire vonatkozó törvény szerint:

\begin{matrix} ϱ ϱ_{a} = \bar{I' K_{1}} \cdot \bar{K_{1} I_{1}} = \bar{B K_{1}} \cdot \bar{K_{1} C} . \end{matrix}

K_{1}

pont a

B C

oldalt két részre osztja. Ha egy távolságot (egy számot) két részre oszlunk, a részek szorzatának maximumát akkor kapjuk, ha a két rész egyenlő, azaz

\begin{matrix} ϱ ϱ_{a} = {\bar{B K}}_{1} \cdot \bar{K_{1} C} ≦ {(\frac{B C}{2})}^{2} vagyis \sqrt[]{ϱ ϱ_{a}} ≦ \frac{B C}{2} . \end{matrix}

Hajós György (Kegyesrendi gimn. VII. o. Bp.)

II. Megoldás. Ha az

I I'

szögfelező

B C

-t

D

pontban metszi, akkor ‐ az előbb idézett tétel értelmében:

\bar{I D} \cdot \bar{I' D} = \bar{B D} \cdot \bar{D C}

.
Azonban

I D ≧ ϱ

és

I' D ≧ ϱ_{a}

, tehát

ϱ ϱ_{a} ≦ \bar{B D} \cdot \bar{D C} ≦ {(\frac{B C}{2})}^{2}

Dénes György (áll. főreál. VII. o. Szombathely.)

III. Megoldás. Ismeretes képletek:

ϱ = \frac{t}{s}

és

ϱ_{a} = \frac{t}{s - a}

\begin{matrix} ϱ ϱ_{a} = \frac{t^{2}}{s (s - a)} = \frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{s (s - a)} = (s - b) (s - c) . \end{matrix}

s - b

és

s - c

tényezők ősszege:

2 s - (b + c) = a

, azaz állandó; tehát szorzatuk maximum, ha a tényezők egyenlők, azaz ha

\begin{matrix} s - b = s - c = \frac{a}{2} . \end{matrix}

Eszerint:

\begin{matrix} ϱ ϱ_{a} = (s - b) (s - c) ≦ {(\frac{a}{2})}^{2} vagyis \sqrt[]{ϱ ϱ_{a}} ≦ \frac{a}{2} . \end{matrix}

Székely Lilly (izr. leánygimn. VIII. o. Bp.)

¹L. még a 306. feladatban. (IV. évl, 4. sz.)