|
Feladat: |
1927. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Beke I. , Bucsy I. , Böszörményi Gy. , Camhi S. , Csalán E. , Dénes György , Deutsch T. , Doktorits I. , Erdélyi László , Gerő L. , Glosios T. , Grünhut Pál , Hajós György , Hapka I. , Jacobi A. , Jónás P. , Juvancz Ireneusz , Klein Eszter , Klein M. , Klein T. , Löbl E. , Márkus L. , Molnár L. , Neufeld Béla , Pápay M. , Párducz N. , Petrovits G. , Pollák A. , Rosenthal E. , Schlüsser E. , Scholcz P. , Shopp J. , Sréter J. , Sveiczer M. , Székely Gy. , Székely Lilly , Szekeres Gy. , Szmodics Z. , Szolovits D. , Turán Pál , Ulmer R. , Vági L. , Vasváry L. , Virányi I. , Wachsberger Márta , Wolf P. , Wolkóber László |
Füzet: |
1928/január,
146 - 147. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek nevezetes tételei, Hozzáírt körök, Beírt kör, Mértani közép, Beírt kör középpontja, Húrnégyszögek, Szögfelező egyenes, Pont körre vonatkozó hatványa, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Egyenlőtlenségek, Geometriai egyenlőtlenségek, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd) |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1927/november: 1927. évi Eötvös (később Kürschák) matematikaverseny 3. feladata |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Legyen az -be beírt kör középpontja , érintési pontja a oldalon ; a szóban forgó hozzáírt kör középpontja , érintési pontja a oldalon .
A , , , , pontok oly körön feküsznek, melynek átmérője ; ugyanis a belső és külső szögfelezők egymásra merőlegesek, hasonlóképen és is. Másrészt a és pontok ‐ a 294. sz. feladat szerint (l. IV. évf, 3. sz.) ‐ a oldal felezőpontjától egyenlő távolságban vannak; ha tehát pontban -re merőlegest állítunk, amíg az előbb említett kört pontban metszi, akkor és . Már most az egy ponton átmenő húrok szeleteire vonatkozó törvény szerint: | |
A pont a oldalt két részre osztja. Ha egy távolságot (egy számot) két részre oszlunk, a részek szorzatának maximumát akkor kapjuk, ha a két rész egyenlő, azaz | |
Hajós György (Kegyesrendi gimn. VII. o. Bp.) |
II. Megoldás. Ha az szögfelező -t pontban metszi, akkor ‐ az előbb idézett tétel értelmében: . Azonban és , tehát .
Dénes György (áll. főreál. VII. o. Szombathely.) |
III. Megoldás. Ismeretes képletek: és | |
Az és tényezők ősszege: , azaz állandó; tehát szorzatuk maximum, ha a tényezők egyenlők, azaz ha Eszerint: | |
Székely Lilly (izr. leánygimn. VIII. o. Bp.) | L. még a 306. feladatban. (IV. évl, 4. sz.) |
|