Kezdőlap


Feladat:	1336. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bali J. , Ballay László , Bizám György , Böröcz I. , Gombás K. , Hódi E. , Hoffmann T. A. , ifj. Schütz B. , Josepovits Gyula , Lőke Endre , Pfeifer B. , Répás L. , Szabó Béla , Szittyai Dezső , Taksony Károly , Trunkó I.
Füzet:	1939/május, 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Trigonometrikus egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1336. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(2)-ből $cos y = 1 - 2 cos x$ .
Tekintettel 1)-re $sin^{2} y + cos^{2} y = 1 = k^{2} sin^{2} x + {(1 - 2 cos x)}^{2}$ .

\begin{matrix} 4 cos^{2} x - 4 cos x + k^{2} (1 - cos^{2} x) = 0 ill. (4 - k^{2}) cos^{2} x - 4 cos x + k^{2} = 0 ... \end{matrix}

(3)

Innen

cos x = \frac{4 \pm \sqrt[]{16 - 4 k^{2} (4 - k^{2})}}{2 {(4 - k)}^{2}} = \frac{4 \pm \sqrt[]{4 k^{4} - 16 k^{2} + 16}}{2 (4 - k^{2})} = \frac{4 \pm (2 k^{2} - 4)}{2 (4 - k^{2})}

\begin{matrix} cos x_{1} = \frac{k^{2}}{4 - k^{2}}, cos x_{2} = \frac{2 (4 - k^{2})}{2 (4 - k^{2})} = 1. \end{matrix}

cos x_{1}

értéke elfogadható, ha abszolut értéke 1-nél nem nagyobb,
azaz:

\begin{matrix} k^{4} \leq {(4 - k^{2})}^{2} ill. k^{2} \leq 2, tehát - \sqrt[]{2} \leq k \leq + \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ebben az esetben

cos y_{1} = 1 - \frac{2 k^{2}}{4 - 4 k^{2}} = \frac{4 - 3 k^{2}}{4 - k^{2}}

cos y_{1}

ezen értéke megfelel, mert, ha

k^{2} \leq 2

, akkor könnyen igazolható, hogy

\begin{matrix} - 1 \leq \frac{4 - 3 k^{2}}{4 - k^{2}} < 1. \end{matrix}

cos x_{2} = 1

esetében

sin x_{2} = 0

, tehát

sin y_{2} = 0, cos y_{2} = - 1

, vagyis

\begin{matrix} x_{2} = 2 k π, y_{2} = (2 l + 1) π . \end{matrix}

Ballay László (Bencés g. VI. o., Győr).