Kezdőlap


Feladat:	1334. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Császár Ákos , Csics Antal , Deutsch János , Faragó K. , Hoch M. , Huhn L. , Pál Sándor , Simon J. , Steiner Gábor , Stúr L. , Szép Z. , Tompos P. , Varga O.
Füzet:	1939/május, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Trapézok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1334. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $M M'$ húr felezőpontja legyen $I$ és ennek vetülete $O A$ -n $K$ . Az $M P P' M'$ trapéz területe: $T = P P' \cdot I K$ .

M O M' △

területe

Δ = \frac{1}{2} \cdot M M' \cdot O I

\begin{matrix} \frac{Δ}{T} = \frac{1}{2} \cdot \frac{M M'}{P P'} \cdot \frac{O I}{I K} . \end{matrix}

M'

-ből húzzunk

O A

-val párhuzamost; ez messe

M P

-t az

N

pontban. Nyilván

M M' N △ \sim O I K △

. (Derékszögű háromszögek,

M M' N ∢ = I O K ∢ = α

, mert száraik megfelelően merőlegesek egymásra.) Ebből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{M M'}{M N} = \frac{M M'}{P P'} = \frac{O I}{O K} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} \frac{Δ}{T} = \frac{1}{2} \frac{O I}{I K} \cdot \frac{O I}{I K} = \frac{1}{2} {(\frac{O I}{I K})}^{2} . \end{matrix}

Ha azonban

M M'

önmagával párhuzamosan mozog, az

I O K ∢

mindig ugyanekkora marad és így

\frac{O I}{I K} = állandó = \frac{1}{sin α}

.
Tehát

\begin{matrix} \frac{Δ}{T} = \frac{1}{2} \frac{1}{sin^{2} α} . \end{matrix}

Csics Antal (V. o. magántanuló, Pannonhalma.).