Kezdőlap


Feladat:	1333. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási J. , Császár Ákos , Deutsch János , Faludy J. , Faragó K. , Fellegi Ö. , Gaál F. , Halmai Gy. S. , Hoch M. , Kunszt Gy. , Mayer T. , Pál Sándor , Rusznák Gy. , Simon J. , Steiner Gábor , Stúr L. , Szakáll Ottó , Szente I. , Szép Z. , Szittyai Dezső , Tompos P. , Trunkó I. , Varga O.
Füzet:	1939/május, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt alakzatok, Egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1333. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy az $A B C △$ -be írt $M N P Q$ téglalap kerülete a megadott $2 l$ hosszúság, tehát $M N + M P = l$ .

Legyen

A D ⊥ A B

és

C D ∥ A B

. Az így keletkező

A B D

derékszögű háromszögbe írt

A G H I

téglalap kerülete, az 1316. gyakorlat szerint megegyezik az

M N P Q

-éval. (

H I = M N, H G = M P

). Feladatunkat eszerint arra vezettük vissza, hogy az

A B D

derékszögű háromszögbe írjunk megadott kerületű téglalapot, úgy, hogy a háromszög derékszöge a téglalap egyik szögével azonos legyen. A

B D

átfogón fekvő

H

pontra nézve a

B A

derékszög száraitól való távolságok összege:

H G + H I = l

.
Mérjük fel az

A B

oldalon a

G E = G H

, az

A D

oldalon az

I F = I H

távolságot; ekkor

A E = A F = l

és

E F

keresztülmegy a

H

ponton, mert

\begin{matrix} I H F ∢ = G E H ∢ = 45^{\circ} . \end{matrix}

A E = A F = l

, akkor

E F

B D

-n oly

H

pontot határoz meg, amelyre nézve

\begin{matrix} H G + H I = l és így M N + M P = l . \end{matrix}

Steiner Gábor (Toldy Ferenc g. V. o. Bp. II.).

Jegyzet.

1^{0}

. Az

E F

vonaldarab bármely pontjára nézve az

E A F

derékszög száraitól való távolságok összege állandóan

A E = A F = l

2^{0}

. Legyen

A B = c

és a

C

csúcsból vont magasság

m

. Vizsgáljuk a háromszögbe írt téglalap kerületének változását; a független változó

M P = x

.
Ekkor

\begin{matrix} M N : (m - x) = c : m, \\ M N = \frac{c (m - x)}{m}, M N + M P = \frac{c (m - x)}{m} + x = c + (1 - \frac{c}{m}) x . \end{matrix}

A téglalap kerülete

K = 2 c + 2 (1 - \frac{c}{m}) x

.
Itt

x

változik 0-tól

m

-ig. Ha

x = 0, K = 2 c

; ha

x = m, K = 2 m

. ¹

K

x

elsőfokú függvénye: vagy monoton növekvő, vagy monoton csökkenő.
Ha

c > m

, akkor

x

együtthatója negatív.

K

értéke fogy

2 c

-től

2 m

-ig.
Ha

c < m

, akkor

x

együtthatója pozitív.

K

értéke növekedik

2 c

-től

2 m

-ig.
Ha

c = m

, akkor

K = 2 c = 2 m

, azaz állandó.

¹Mind a két esetben a téglalap vonaldarabbá zsugorodik össze.