Kezdőlap


Feladat:	1332. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Hoffmann Tibor , Komlós Judit , Mendelsohn I. György , Szittyai Dezső
Füzet:	1939/május, 206 - 207. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1332. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hogy az előbbi feladat megoldásai racionális számok legyenek, szükséges és elegendő, hogy

\begin{matrix} 4 a + 1 és 4 a - 3 \end{matrix}

k

és

k - \frac{2 m}{n}

racionális számok négyzetei legyenek. (

m

és

n

egész számokat jelentenek). Eszerint

\begin{matrix} 4 a + 1 = k^{2} 4 a - 3 = {(k - \frac{2 m}{n})}^{2} . \end{matrix}

Kivonással:

\begin{matrix} 4 = 4 k \frac{m}{n} - \frac{4 m^{2}}{n^{2}} és innen k = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} . \end{matrix}

Mármost

\begin{matrix} a = \frac{k^{2} - 1}{4} = \frac{{(m^{2} + n^{2})}^{2}}{4 m^{2} n^{2}} - \frac{1}{4} = \frac{m^{4} + n^{4} + m^{2} n^{2}}{4 m^{2} n^{2}} . \end{matrix}

Az I. megoldása:

\begin{matrix} x = y = \frac{- 1 \pm k}{2} = \frac{- m n \pm (m^{2} + n^{2})}{2 m n} . \end{matrix}

A II. megoldása:

\begin{matrix} x = \frac{+ 1 \pm (k - \frac{2 m}{n})}{2} = \frac{+ 1 \pm \frac{n^{2} - m^{2}}{m n}}{2} = \frac{+ m n \pm (n^{2} - m^{2})}{2 m n} \\ y = \frac{m n \mp (n^{2} - m^{2})}{2 m n} . \end{matrix}

Szittyai Dezső (Wágner g. VI. o. Rákospalota.).