Kezdőlap


Feladat:	1330. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Adler Rácz J. , Almási J. , Baka S. , Balázs D. , Bánki T. , Böröcz I. , Chabada Gy. , Chladek L. , Császár Ákos , Csics Antal , Deutsch János , Diszberger Kató , Faludy J. , Faragó K. , Fehér Ö. , Fellegi Ö. , Fischmann Herta , Gaál F. , Gér J. , Goralkó K. , Gosztola L. , Gottlieb E. , Gutmann I. , Győry T. , Hammer P. , Haraszthy A. , Hoch M. , Hódy E. , Huhn L. , ifj. Schütz B. , Janits K. , Kátai P. , Katona Andrea , Keresztény B. , Klob Alice , Komlós Judit , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács L. , Králik S. , Kunszt Gy. , Küttel Nóra , Major B. , Manheim E. , Máriaföldy P. , Mátyás Gy. , Mayer T. , Mendelsohn I. Gy. , Mermelstein E. , Mogyoróssy K. , Neubrun P. , Pál Sándor , Pfeifer B. , Prikkel Mária , Rasztovits O. , Répás L. , Rosenblatt Lívia , Rusznák Gy. , Sárközy Éva , Simon J. , Spirer P. , Steiner Gábor , Stúr L. , Szabadházy B. , Szabó Á. , Szabó A. , Szakáll Ottó , Szalay Klára , Szalma B. , Székely Gy. , Szelényi G. , Szente I. , Szentkláray N. , Szép Z. , Szittyai Dezső , Szoboszlay P. , Tolnay P. , Tompos P. , Trunkó I. , Ujlaki L. , Varga E. , Varga O. , Várszegi m. , Wöfel Zsuzsa , Zárián I.
Füzet:	1939/május, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1330. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egyenletünk baloldalán álló négyzetgyökök $x$ valós értékű függvényei, ha

\begin{matrix} 2 x + 1 \geq 0 és x + 1 \geq 0, azaz ha x \geq - \frac{1}{2} ill. x \geq - 1. \end{matrix}

E két feltételt együttesen kielégíti

\begin{matrix} x \geq - \frac{1}{2} ... \end{matrix}

(1)

Az adott egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, keletkezik

\begin{matrix} 2 x + 1 + 2 \sqrt[]{(2 x + 1) (x + 1)} + x + 1 = 1 vagy 2 \sqrt[]{(2 x + 1) (x + 1)} = - 3 x - 1 ... \end{matrix}

(2)

A (2) baloldalán pozitív szám áll; kell, hogy a jobboldal is pozitív legyen,
tehát

\begin{matrix} - 3 x - 1 > 0, ill. x < - \frac{1}{3} ... \end{matrix}

(3)

Az (1) és (3) alatti feltételek összefoglalásával

\begin{matrix} - \frac{1}{2} \leq x < - \frac{1}{3} ... \end{matrix}

(4)

Most már a (2) mindkét oldalán négyzetre emelve:

\begin{matrix} 4 (2 x^{2} + 3 x + 1) = 9 x^{2} + 6 x + 1 vagyis x^{2} - 6 x - 3 = 0 ... \end{matrix}

(5)

(5) megoldása

\begin{matrix} x = \frac{6 \pm \sqrt[]{36 + 12}}{2} = 3 \pm \sqrt[]{12} = 3 \pm 2 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Ezen két érték közül csak a negatív felelhet meg az eredeti egyenletnek:

x' = 3 - 2 \sqrt[]{3}

. Ezen érték kielégíti a (4) feltételt; ugyanis

\begin{matrix} - \frac{1}{2} < 3 - 2 \sqrt[]{3} \sim - 0, 464 < - \frac{1}{3} . \end{matrix}

Helyettesítsük be

x'

ezen értékét az eredeti egyenletbe:

\begin{matrix} \sqrt[]{7 - 4 \sqrt[]{3}} + \sqrt[]{4 - 2 \sqrt[]{3}} = \sqrt[]{{(2 - \sqrt[]{3})}^{2}} + \sqrt[]{{(\sqrt[]{3} - 1)}^{2}} = 2 - \sqrt[]{3} + \sqrt[]{3} - 1 = 1. \end{matrix}

Taksony Károly (Ág. ev. g. VI. o. Bp.)

Kiegészítés. Az (5) egyenlet másik gyöke, t. i.

x'' = 3 + 2 \sqrt[]{3}

, a

\begin{matrix} \sqrt[]{2 x + 1} - \sqrt[]{x + 1} = 1 ... \end{matrix}

(6)

egyenletet elégíti ki. Ugyanis

\begin{matrix} \sqrt[]{7 + 4 \sqrt[]{3}} - \sqrt[]{4 + 2 \sqrt[]{3}} = \sqrt[]{{(2 + \sqrt[]{3})}^{2}} - \sqrt[]{{(1 + \sqrt[]{3})}^{2}} = 2 + \sqrt[]{3} - (1 + \sqrt[]{3}) = 1. \end{matrix}

Ha a (6) egyenlet mindkét oldalán négyzetre emelünk, akkor

\begin{matrix} - 2 \sqrt[]{(2 x + 1) (x + 1)} = - 3 x - 1. \end{matrix}

Ha itt újra négyzetre emelünk, akkor is az (5) egyenlethez jutunk.