Kezdőlap


Feladat:	1328. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almási J. , Balázs D. , Bingert I. , Böröcz S. , Chabada Gy. , Császár Ákos , Csics Antal , Deutsch János , Dorn T. , Epstein Vera , Faludy J. , Faragó K. , Fischmann Herta , Fuchs L. , Gaál F. , Gosztola L. , Gutmann I. , Györke Zsolt , Halmai Gy. S. , Haraszthy A. , Hoch M. , Hódi E. , Huhn L. , ifj. Schütz B. , Janits K. , Kalocsy Klára , Kátai P. , Katona Andrea , Komlós Judit , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Králik I. , Kunat Gy. , Liebmann M. , Lóránd L. , Lovass Nagy V. , Major B. , Máriaföldy P. , Mendelsohn I. Gy. , Mermelstein E. , Pál Sándor , Pallós K. , Pfeifer B. , Répás L. , Rusznák Gy. , Simándi Gy. , Simon J. , Spirer P. , Steiner Gábor , Stúr L. , Szabó Á. , Szakáll O. , Szalma B. , Szelényi G. , Szép Z. , Szittyai Dezső , Tolnay P. , Tompos P. , v. Lánczos I. , Varga O. , Várszegi m. , Vizi L.
Füzet:	1939/május, 203. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/február: 1328. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a számrendszer alapszáma $x$ , akkor adataink szerint

\begin{matrix} {(3 x + 4)}^{2} = x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 2. \end{matrix}

A kijelölt művelet végrehajtása és összevonás után:

\begin{matrix} x^{3} - 4 x^{2} - 19 x = x (x^{2} - 4 x - 19) = 14. \end{matrix}

Eszerint

x

a 14 osztója, de ezen osztó 5-nél nagyobb tartozik lenni, mert az alapszám 1552 jegyeinél nagyobb. Tehát

x

vagy 7, vagy 14. Azonban

x

kisebb 10-nél, mert a tízes rendszerben

34^{2} = 1156

x = 7

kielégíti az egyenletet

\begin{matrix} 7 (7^{2} - 4 \cdot 7 - 19) = 7 (49 - 47) = 14. \end{matrix}

A keresett alapszám:

x = 7

.
A tízes rendszerben:

\begin{matrix} {(3 \cdot 7 + 4)}^{2} = 25^{2} = 625 és 7^{3} + 5 \cdot 7^{2} + 5 \cdot 7 + 2 = 625. \end{matrix}

Györke Zsolt (áll. gimn. VI. o. Beregszász.).