Kezdőlap


Feladat:	1326. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Böröcz Imre , Csics Antal , Dénes L. , Faragó Kálmán , Fischmann Herta , Fuchs László , Huhn László , Janits K. , Jeney Anna , Komlós Judit , Kovács Ervin , Pál Sándor , Répás Lajos , Szittyai Dezső , Tolnay P.
Füzet:	1939/március, 171 - 172. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1326. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Az $E F G H$ idom négyzet. Ugyanis átlói, $E G$ és $F H$ egyenlők és az $A B C D$ négyzet $O$ középpontjában merőlegesen felezik egymást.

Már most

\begin{matrix} O E = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \sqrt[]{3} = \frac{a}{2} (\sqrt[]{3} + 1) . \end{matrix}

E F G H

négyzet területe négy egyenlőszárú derékszögű háromszög területének összege, azaz

\begin{matrix} t_{1} = 4 \cdot \frac{{\bar{O E}}^{2}}{2} = 2 {\bar{O E}}^{2} = 2 \cdot \frac{a^{2}}{4} {(\sqrt[]{3} + 1)}^{2} = \\ = a^{2} (2 + \sqrt[]{3}) \sim 3, 732 a^{2} . \end{matrix}

2^{0}

. Az

M N P Q

idom szintén négyzet, melynek

M P

és

N Q

átlói ugyancsak egyenlők és az

O

pontban merőlegesen felezik egymást.
Az átló fele:

\begin{matrix} O M = A C \frac{\sqrt[]{3}}{2} = A B \sqrt[]{2} \frac{\sqrt[]{3}}{2} = \frac{a}{2} \sqrt[]{6} . \end{matrix}

M N P Q

területe

\begin{matrix} t_{2} = 4 \cdot \frac{{\bar{O M}}^{2}}{2} = 2 {\bar{O M}}^{2} = 2 {(\frac{a}{2} \sqrt[]{6})}^{2} = 2 \frac{a^{2}}{4} \cdot 6 = 3 a^{2} . \end{matrix}

3^{0}

. Az előbbi két idom közös részének területét megkapjuk, ha az

M N P Q

négyzetéből kivonjuk a másikon kívül álló négy egybevágó, egyenlőszárú derékszögű háromszög terület-összegét. Ha egy ilyen háromszög, pl.

M R T

, magassága

h

, akkor területe

2 \frac{h^{2}}{2} = h^{2}

.
Az

E F

oldal távolsága

O

-tól

= \frac{E F}{2} = \frac{O E \sqrt[]{2}}{2} = \frac{a (\sqrt[]{3} + 1)}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2}

.
Tehát

h = \frac{a \sqrt[]{6}}{2} - \frac{a (\sqrt[]{3} + 1)}{2 \sqrt[]{2}} = \frac{a}{2 \sqrt[]{2}} (2 \sqrt[]{3} - \sqrt[]{3} - 1) = \frac{a}{2 \sqrt[]{2}} (\sqrt[]{3} - 1)

.
A négy háromszög terület-összege:

\begin{matrix} 4 h^{2} = \frac{a^{2}}{2} {(\sqrt[]{3} - 1)}^{2} = \frac{a^{2}}{2} (3 - 2 \sqrt[]{3} + 1) = a^{2} (2 - \sqrt[]{3}) . \end{matrix}

A két négyzet közös részének területe:

\begin{matrix} t_{3} = t_{2} - 4 h^{2} = 3 a^{2} - a^{2} (2 - \sqrt[]{3}) = a^{2} (\sqrt[]{3} + 1) \sim 2, 732 a^{2} . \end{matrix}

Répás Lajos (Baross Gábor g. VI. o. Szeged.)