Feladat: 1325. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bizám György ,  Csáki Frigyes ,  Deutsch János ,  Faragó Kálmán ,  Freud Géza ,  Hoffmann Tibor ,  Josepovits Gyula ,  Kovács Ervin ,  Pál Sándor ,  Répás Lajos ,  Stúr L. ,  Stúr Lajos ,  Szittyai Dezső ,  Vizi László 
Füzet: 1939/március, 170 - 171. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Háromszögek nevezetes tételei, Körülírt kör, Magasságpont, Egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1939/január: 1325. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

10. Tekintsünk egy ABC háromszöget, mely a követelményeknek megfelel. Az AH magasság talppontja az e egyenesen A', valamennyi megfelelő háromszögre nézve közös, szilárd pont. Ismeretes, hogy az AHA' magasság az ABC△ köré írt kört olyan D pontban metszi, mely H-val szimmetrikus az e-re nézve. Tehát D az egyik szilárd pont.

 
 

Az ABC△ köré írt kör O középpontja azon f egyenesen fekszik, mely merőleges e-re és M ponton megy keresztül. Az O kör keresztülmegy tehát azon E ponton, mely D-vel szimmetrikus f-re nézve. Eszerint E a második szilárd pont. A D és E pontokon tehát keresztülmennek mindazon ABC△ köré írt körök, melyeknek H a magassági pontjuk, BC alapjuk az e egyenesen fekszik úgy, hogy felezőpontjuk M.
Amint láttuk, bármely szóbanforgó ABC△ köré írt kör O középpontja az f egyenesen fekszik. Azonban O nem írja le az egész f egyenest. Az f egyenesnek valamely O pontja csak akkor lehet az ABC△ köré írt kör középpontja, ha az O ponttól OD=OE sugárral szerkesztett kör az e-t metszi. Az E és F ponton átmenő körök között van egy határ-kör, mely e-t az M-ben érinti; legyen ennek középpontja ω. Az O pont az f egyenesnek azt a felét írja le, melyet ω határol és M pontot tartalmazza.
20. Az ABC△ S súlypontja mindig az OH egyenesen fekszik úgy, hogy OS=13OH. Tehát az S pont, miközben O leírja az f egyenes előbb meghatározott részét, ugyancsak egy, az e-re merőleges egyenesnek megfelelő részét írja le. Ezen rész határpontja az ωH távolságot 1:2 arányban osztó pont.
 
Hoffmann Tibor (Szent-István g. VII. o. Bp. XIV.).