Kezdőlap


Feladat:	1323. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási J. , Baka Sándor , Böröcz Imre , Császár Ákos , Csics Antal , Deutsch János , Faragó Kálmán , Fischmann Herta , Fuchs László , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Huhn László , Komlós Judit , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Králik I. , Kunszt Gy. , Liebmann M. , Mogyoróssy Kálmán , Pál Sándor , Pallós Károly , Répás Lajos , Rusznák Gy. , Spirer P. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szabadházy B. , Szabó Á. , Szakáll Ottó , Szittyai Dezső , Tóth A. , Várszegi m. , Vizi László
Füzet:	1939/március, 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Trapézok, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1323. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C D$ a keresett trapéz, úgy hogy $A B ∥ C D$ $(A B > C D)$ , $A C = B D$ és $A D = B C$ . Az $A C$ átló $E$ felezőpontját kössük össze az $A D$ oldal $G$ felezőpontjával. Így $G E ∥ C D ∥ A B$ és $G E = \frac{1}{2} C D$ . A $G E$ egyenes felezi a $B D$ átlót is, az $F$ pontban, minthogy $G E F ∥ A B$ és így $G F = \frac{1}{2} A B$ .
Eszerint $E F = G F - G E = \frac{1}{2} (A B - C D)$ .

Húzzunk már most az

A B C D

trapéz

C

csúcsából az

A D

-vel párhuzamosat:

C K # A D = B C

. Az

A B

oldalon keletkező

K B = A B - C D = 2 E F

.
Ezután a szerkesztést így végezhetjük: megszerkesztjük a

B K C

egyenlőszárú háromszöget, melynek oldalai ismeretesek:

K B = 2 E F

és

C K = B C

. Ezen szerkesztés végezhető, ha

K B = 2 E F < 2 B C

, azaz

E F < B C

. A

C

csúcsból a megadott átlóval,

A C

-vel kört szerkesztünk; ez a

B K

egyenest az

A

(és

A'

) pontban metszi. Nyilvánvaló feltétel :

A C > C K

ill.

A C > B C

. Most már könnyen megszerkeszthetjük a trapéz negyedik csúcsát

D

-t, mint az

A K C D

paralelogramma negyedik csúcsát.
Összefoglalva a szerkesztés lehetőségének feltételeit:

\begin{matrix} A C > B C > E F . \end{matrix}

C

csúcsból

A C

sugárral szerkesztett körnek

B K

-val való második metszéspontja

A'

, az előbbivel egybevágó trapézt szolgáltat.

Kovács Egon (Szent-László g. VI. o. Bp. X.)