Kezdőlap


Feladat:	1321. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási J. , Böröcz Imre , Császár Ákos , Csics Antal , Dénes L. , Deutsch János , Dorn T. , Faragó Kálmán , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Huhn László , ifj. Schütz B. , Janits K. , Komlós Judit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kunszt Gy. , Pál Sándor , Pallós Károly , Pfeiffer Béla , Répás Lajos , Rusznák Gy. , Simon J. , Spaics A. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szép Z. , Szittyai Dezső , Tóth Antal , Tóth T. , Varga Ottó
Füzet:	1939/március, 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1321. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $f (x) = 0$ és $f (y) = 0$ egyenlet gyökei megegyeznek, ha a megfelelő együtthatók viszonya egyenlő, azaz

\begin{matrix} \frac{1 + p + q}{1} = \frac{2 (1 - q)}{p} = \frac{1 - p + q}{q} ... \end{matrix}

(1)

Ha ezen arányok egyenlők, akkor értékük megegyezik a két szélső számláló összegének és a nevező összegének arányával és ez

\begin{matrix} \frac{1 + p + q + 1 - p + q}{1 + q} = \frac{2 (1 + q)}{1 + q} = 2 hacsak q \neq 1. \end{matrix}

\begin{matrix} Ezek szerint: & 1 + p + q = 2, és 1)-ből 1 - q = p, 1 - p = q . \\ Mind a három ugyanazt mondja, t. i. p + q = 1 ... \\ Ekkor valóban: & 1 + (p + q) = 2; 2 (1 - q) = 2 p \\ és & 1 - p + q = p + q - p + q = 2 q, \end{matrix}

(2)
azaz az

f (y) = 0

egyenlet együtthatói az

f (x) = 0

egyenlet megfelelő együtthatóinak kétszeresei.
Vizsgáljuk még meg a

q = - 1

esetet is. Ekkor az (1) alatti arányokból:

\begin{matrix} \frac{p}{1} = \frac{4}{p} = \frac{- p}{- 1} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} p^{2} = 4, azaz p = + 2. \end{matrix}

\begin{matrix} p = + 2 & mellett & f_{1} (x) \equiv x^{2} + 2 x - 1 = 0 és f_{1} (y) \equiv & 2 y^{2} + 4 y - 2 = 0 \\ p = - 2 & ,, & f_{2} (x) \equiv x^{2} - 2 x - 1 = 0 és f_{2} (y) \equiv - & 2 y^{2} + 4 y + 2 = 0. \end{matrix}

Látható, hogy a

q = - 1

p = \pm 2

esetekben is az

\begin{matrix} f_{1} (x) = 0 és f_{1} (y) = 0 ill. az f_{2} (x) = 0 és f_{2} (y) = 0 \end{matrix}

egyenletek gyökei megegyeznek. A

p = + 2

q = - 1

eset beletartozik az általános

p + q = 1

összefüggés keretébe.