Kezdőlap


Feladat:	1320. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almási J. , Bakai Gy. , Bergsmann P. , Böröcz Imre , Császár Ákos , Csics Antal , Dénes L. , Deutsch János , Dorn T. , Faragó Kálmán , Fehér Ö. , Fuchs László , Gramantik Sarolta , Gutmann István , Haraszthy András , Hoch M. , Hódi Endre , Hollaender Marika , Huhn László , ifj. Schütz B. , Janits K. , Katona Andrea , Kiss Margit , Komlós Judit , Kotsis Irén , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács Ibolya , Králik I. , Kunszt Gy. , Major B. , Mendelsohn I. György , Mermelstein Ernő , Pál Sándor , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Rácz Irén , Répás Lajos , Róna Zsuzsa , Rosenblatt Lívia , Rusznák Gy. , Sárközy Éva , Schmirtz Klára , Simon J. , Sinay Marianne , Spaics A. , Stein I. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szabó Á. , Száraz Adrienne , Szente I. , Szép Z. , Szittyai Dezső , Sztehlo Eszter , Tóth A. , Tóth T. , Varga E. , Varga Ottó , Zsolgya Endre
Füzet:	1939/március, 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1320. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen

\begin{matrix} y = \frac{x + 1}{x - 1} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = \frac{y + 1}{y - 1} . \end{matrix}

Helyettesítsük

x

ezen kifejezését az

f (x) = 0

egyenletbe; a törtek eltávolítása után keletkezik:

\begin{matrix} f (y) \equiv {(y + 1)}^{2} + p (y + 1) (y - 1) + q {(y - 1)}^{2} = 0, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} f (y) \equiv (1 + p + q) y^{2} + 2 (1 - q) y + 1 - p + q = 0. \end{matrix}

II. Megoldás. Határozzuk meg

y_{1} + y_{2}

és

y_{1} y_{2}

értékét az

f (x) = 0

egyenlet együtthatóival.

\begin{matrix} y_{1} + y_{2} = \frac{x_{1} + 1}{x_{1} - 1} + \frac{x_{2} + 1}{x_{2} - 1} = \frac{2 x_{1} x_{2} - 2}{x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1} = \frac{2 (q - 1)}{q + p + 1}, \\ y_{1} y_{2} = \frac{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)}{(x_{1} - 1) (x_{2} - 1)} = \frac{x_{1} x_{2} + (x_{1} + x_{2}) + 1}{x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1} = \frac{q - p + 1}{q + p + 1} . \end{matrix}

Eszerint

y_{1}

és

y_{2}

\begin{matrix} y^{2} + \frac{2 (1 - q)}{q + p + 1} y + \frac{q - p + 1}{q + p + 1} = 0, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} f (y) \equiv (1 + p + q) y^{2} + 2 (1 - q) y + 1 - p + q = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei.

\begin{matrix} p + q + 1 = 0 esetében p = - (q + 1), és így az \\ f (x) \equiv x^{2} - (q + 1) x + q = 0 gyökei q és 1. \end{matrix}

Ezen esetet azonban, midőn az

f (x) = 0

egyik gyöke 1, kizártuk.
Sinay Marianne (Ref. leányg. VI. o. Miskolc.)