Kezdőlap


Feladat:	1318. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Császár Ákos , Csics Antal , Deutsch János , Faragó Kálmán , Gaál F. , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Huhn László , Komlós Judit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Major B. , Pál Sándor , Pallós Károly , Rasztovics O. , Simon J. , Spaics A. , Spirer P. , Stúr Lajos , Szente I. , Szép Z. , Szittyai Dezső , Tóth Antal , Varga E. , Varga Ottó , Vizi László
Füzet:	1939/március, 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Paraméteres egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1318. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintettel arra, hogy pozitív számokkal van dolgunk, négyzetre emelhetjük az egyenlőség mindkét oldalát és így

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} > a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} + 2 a b x y ... \end{matrix}

(1)

Minthogy

a^{2} + b^{2} < 1

\begin{matrix} x^{2} > a^{2} x^{2} + b^{2} x^{2}, y^{2} > a^{2} y^{2} + b^{2} y^{2} \\ x^{2} + y^{2} > (a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2}) + (a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2}) ... & (2) \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} \geq 2 a b x y ... \end{matrix}

(3)

mert,

\begin{matrix} a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} - 2 a b x y = {(a y - b x)}^{2} ≧ 0, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} > (a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2}) + (a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2}) > a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} + 2 a b x y . \end{matrix}

Eszerint 1) fennáll és így

\sqrt[]{x^{2} + y^{2}} > a x + b y

Tóth Antal (Bencés g. V. o. Kőszeg.)