Kezdőlap


Feladat:	1317. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Almási J. , Bakai Gy. , Császár Ákos , Csics Antal , Deutsch János , Faragó K. , Fischmann Herta , Fuchs László , Huhn László , Janits K. , Komlós Judit , Kornis Edit , Kovács Ervin , Kunszt Gy. , Mermelstein Ernő , Pál Sándor , Rusznák Gy. , Simon J. , Spaics A. , Spirer P. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szente I. , Szép Z. , Szittyai Dezső , Tóth Antal , Tóth T. , Ujlaki K. , Varga Ottó , Vizi László
Füzet:	1939/március, 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Gyakorlat, Legkisebb közös többszörös
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1939/január: 1317. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szóban forgó összeget, közös nevezővel,

\begin{matrix} f (n) \equiv \frac{n^{5} + 5 n^{3} + 4 n}{120} = \frac{n (n^{2} + 1) (n^{2} + 4)}{120} \end{matrix}

alakban írhatjuk. Tekintettel arra, hogy

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

, akkor lesz

f (n)

egész szám, ha a számláló osztható

2^{3}

, 3, 5 törzsszám-hatványokkal.
a) Oszthatóság

2^{3}

-ével. Ha

n

páros szám,

n^{2}

és így

n^{2} + 4

is a

4

többszöröse, tehát

n (n^{2} + 4)

osztható

2^{3}

-ével.
Ha

n

páratlan,

n^{2}

és

n^{2} + 4

is az. Most

n^{2} + 1

páros, de

\begin{matrix} n^{2} + 1 = {(2 k + 1)}^{2} + 1 = 4 k^{2} + 2 k + 2 \end{matrix}

csak 2-vel osztható.
Hogy

f (n)

egész szám legyen, szükséges, hogy

n

páros szám legyen
b) Oszthatóság 3-mal. Ha

n = 3 m

, akkor

f (n)

számlálója osztható 3-mal.
Ha azonban

n = 3 m \pm 1

, akkor

\begin{matrix} n^{2} + 1 = 9 m^{2} \pm 6 m + 2 és n^{2} + 4 = 9 m^{2} \pm 6 m + 5, \end{matrix}

tehát a számláló egyik tényezője sem osztható 3-mal.
Hogy

f (n)

egész szám legyen, szükséges, hogy

n

többszöröse legyen 3-nak.
c) Oszthatóság 5-tel. Ha

n = 5 m

, akkor a számláló is osztható 5-tel.
Ha

n = 5 m \pm 1, akkor n^{2} + 4 = 25 m^{2} \pm 10 m + 5

n = 5 m \pm 2, akkor n^{2} + 1 = 25 m^{2} \pm 10 m + 5

többszöröse 5-nek. Eszerint a számláló

n

bármely értéke mellett osztható 5-tel.
Összefoglalva: hogy

f (n)

egész szám legyen, szükséges és elegendő, hogy

n

többszöröse legyen 2-nek és 3-nak, tehát 6-nak is.

Császár Ákos (Érseki g. V. o. Bp. II.)