Kezdőlap


Feladat:	1312. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Chabada György , Faragó Kálmán , Fuchs László , Haraszthy András , Harkay R. , Hoch M. , Hódi Endre , Kovács Ervin , Mendelsohn György , Répás Lajos , Rusznák Gy. , Spirer P. , Steiner Gábor , Steiner P. , Szittyai Dezső , Varga Ottó
Füzet:	1939/február, 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Körérintők, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1312. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $B H = m, A B = x, C D = y$ .
Az $A D$ és $B C$ átmérőkhöz tartozó körök szimmetrikus helyzetűek a trapéz $E F$ szimmetria tengelyére nézve; ezért érintési portjuk, $I$ , az $E F$ egyenesen fekszik. ( $E$ az $A B$ , $F$ a $C D$ oldal felező pontja.) A $B H$ magasság $H$ talppontja a $B C$ átmérőjű körön fekszik. (Thales tétele.) Ezen körre vonatkozólag

\begin{matrix} {\bar{F I}}^{2} = \bar{F H} \cdot \bar{F C} . \end{matrix}

Azonban¹

\begin{matrix} F I = \frac{m}{2}, F H = E B = \frac{x}{2}, F C = \frac{y}{2} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} m^{2} = x y ... \end{matrix}

(1)

C B D

derékszögű háromszögben pedig

\bar{B H^{2}} = \bar{D H} \cdot \bar{H C}

. Minthogy

\begin{matrix} D H = \frac{x + y}{2}, H C = \frac{y - x}{2}, 4 m^{2} = y^{2} - x^{2} ... \end{matrix}

(2)

Ha 1)-et

- x^{2} y^{2} = - m^{4}

alakban írjuk, akkor így 1) és 2) alapján mondhatjuk, hogy

y^{2}

és

- x^{2}

\begin{matrix} z^{2} - 4 m^{2} z - m^{4} = 0 ... \end{matrix}

(3)

egyenlet gyökei, még pedig

\begin{matrix} y^{2} = m^{2} (2 + \sqrt[]{5}) és - x^{2} = m^{2} (2 - \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

Minthogy

y

és

x

csak pozitívek lehetnek,

\begin{matrix} y = m \sqrt[]{2 + \sqrt[]{5}}, x = m \sqrt[]{\sqrt[]{5} - 2} . \end{matrix}

Mendelsohn György (Izr. g. VI. o. Bp. )

¹Ha

I

-ben

E F

-re merőlegest állítunk, ez a kör középpontján, tehát

B C

(ill.

A D

) felezőpontján megy keresztül. Ebből következik: 1)

I

E F

felezőpontja; 2)

B C = 2 I O = \frac{x + y}{2}