Kezdőlap


Feladat:	1309. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Almási J. , Bakai Gy. , Böröcz Imre , Dénes L. , Deutsch J. , Faragó Kálmán , Fehér Ödön , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Komlós Judit , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kunszt Gy. , Mendelsohn György , Mermelstein Ernő , Ozoróczy Sarolta , Pál Sándor , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Rusznák Gy. , Simon J. , Spirer P. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szittyai Dezső , Taksony K. , Tóth A. , Tóth T. , Varga Ottó , Vizi László
Füzet:	1939/február, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/december: 1309. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x^{2}$ -re másodfokú $x^{4} - 2 a x^{2} + b^{2} = 0$ egyenlet megoldása:

\begin{matrix} x^{2} = a \pm \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}, ill. x = \pm \sqrt[]{a \pm \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}} . \end{matrix}

Itt

x

-re négy értéket kaptunk; mindegyik összetett négyzetgyök. Elegendő, ha csak az egyiket állítjuk elő, mint két egyszerű négyzetgyök összegét. Legyen tehát

\begin{matrix} \sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}} = \sqrt[]{u} + \sqrt[]{v} és így a + \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} = u + v + 2 \sqrt[]{u v} . \end{matrix}

Utóbbi egyenlet csak úgy állhat meg, ha

\begin{matrix} u + v = a és 2 \sqrt[]{u v} = \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} vagy u v = \frac{a^{2} - b^{2}}{4} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} u \end{matrix}

egyenlet gyökei:

\begin{matrix} u & = z_{1} = \frac{1}{2} (a + \sqrt[]{a^{2} - 4 \frac{a^{2} - b^{2}}{4}}) = \frac{1}{2} (a + b) \\ v & = z_{2} = \frac{1}{2} (a - \sqrt[]{a^{2} - \frac{a^{2} - b^{2}}{4}}) = \frac{1}{2} (a - b) . \end{matrix}

Vagy pedig

u = z_{2}

és

v = z_{1}

. Az

u

és

v

felcserélése által nem kapunk különböző megoldásokat és így

\begin{matrix} \sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}} = \sqrt[]{\frac{a + b}{2}} + \sqrt[]{\frac{a - b}{2}} . \end{matrix}

Hasonlóan:

\begin{matrix} \sqrt[]{a + \sqrt[]{a^{2} - b^{2}}} = \sqrt[]{\frac{a + b}{2}} - \sqrt[]{\frac{a - b}{2}} . \end{matrix}

Az egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x = \pm (\sqrt[]{\frac{a + b}{2}} \pm \sqrt[]{\frac{a - b}{2}}) . \end{matrix}

Komlós Judit (Szent-Erzsébet leányg. V. o. Pécs)