Kezdőlap


Feladat:	1305. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baka Sándor , Böröcz Imre , Császár Ákos , Csics Antal , Faludi J. , Faragó Kálmán , Gutmann István , Haraszthy András , Harkay R. , Heppert Gy. , Hódi Endre , Hunkár D. , Irányi L. , Jeney Anna , Kaiser K. , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács L. , Králik I. , Mendelsohn I. György , Mogyoróssy Kálmán , Pál Sándor , Pallós Károly , Répás Lajos , Sárközy Éva , Spirer P. , Steiner Gábor , Stinner T. , Stúr Lajos , Szabadházy B. , Szabó Á. , Szabó E. , Szakáll Ottó , Szelényi G. , Sziklavári J. , Szittyai Dezső , Tóth A. , Trunkó I. , Varga Ottó , Várszegi m. , Vassányi B. , Vizi László
Füzet:	1939/január, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1305. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az $A A'$ húr távolsága a kör $O$ középpontjától $O C = d$ . Az $A A'$ húrhoz tartozó (kisebbik) ív felezőpontja $D$ . Ki kell számítanunk az $A D$ húr távolságát a középponttól, $O E$ -t. Az $A D$ -t felező $E$ pont vetülete $O D$ -n legyen $F$ ; nyilván $F$ felezi $C D$ -t $C F = D F$ . Már most az $O E D$ derékszögű szögben

\begin{matrix} \bar{O E^{2}} = \bar{O D} \cdot \bar{O F} = R \cdot \bar{O F} . \end{matrix}

Minthogy

O F = O C + C F és O F = O D - D F

\begin{matrix} 2 O F = O C + O D, O F = \frac{1}{2} (O C + O D) = \frac{1}{2} (d + R) . \end{matrix}

Így

\bar{O E^{2}} = \frac{1}{2} R (d + R)

Csics Antal (Bencés gimn. V. o. magántanuló, Bp.)

II. Megoldás. Ha

B

D

-vel diametrálisan szemben fekvő pontja a körnek,

\begin{matrix} O E = \frac{1}{2} B A . Ugyanis O \end{matrix}

B A D

derékszögű háromszögben:

\bar{B A^{2}} = \bar{B D} \cdot \bar{B C} = 2 R (R + d)

\begin{matrix} \bar{O E^{2}} = \frac{1}{4} \bar{B A^{2}} = \frac{1}{2} R (R + d) . \end{matrix}