Kezdőlap


Feladat:	1301. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Baka Sándor , Bergsmann P. , Bernei F. , Böröcz Imre , Chabada György , Császár Ákos , Deutsch J. , Faragó Kálmán , Fehér Ödön , Fellegi Ödön , Fuchs László , Fülöp J. , Grünwald Béla , Gutmann István , Háber G. , Hammer P. , Haraszthy András , Harkay R. , Hoch M. , Hódi Endre , Huhn László , ifj. Schütz B. , Irányi László , Kaiser K. , Keresztény B. , Komlós Judit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács L. , Králik I. , Mendelsohn I. György , Messmer A. , Mogyoróssy Kálmán , Pál Sándor , Rasztovits O. , Répás Lajos , Rusznák Gy. , Sárközy Éva , Schulek B. , Simon J. , Spirer P. , Stein I. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Sulner László , Szabadházy B. , Szabó Á. , Szabó E. , Sziklaváry J. , Szittyai Dezső , Tolnay P. , Tóth A. , Tóth T. , Trunkó I. , Varga E. , Varga Ottó , Várszegi m. , Vizi László
Füzet:	1939/január, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1301. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} x (x + 3) = x^{2} + 3 x \\ (x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2. \end{matrix}

Ha már most

x^{2} + 3 x = y

, akkor egyenletünk:

\begin{matrix} 16 y (y + 2) = 9 ill. 16 y^{2} + 32 y - 9 = 0. \end{matrix}

Innen

y = \frac{- 32 \pm \sqrt[]{32^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 9}}{32} = \frac{- 32 \pm 40}{32}; y_{1} = \frac{- 9}{4}, y_{2} = + \frac{1}{4}

.

I. Ha

x^{2} + 3 x = - \frac{9}{4}

, akkor

x = \frac{- 3 \pm \sqrt[]{9 - 9}}{2} = \frac{- 3}{2}

.

II. Ha

x^{2} + 3 x = + \frac{1}{4}

. ,,

x = \frac{- 3 \pm \sqrt[]{9 + 1}}{2} = \frac{- 3 + \sqrt[]{10}}{2}

.
Eszerint az eredeti negyedfokú egyenletnek négy gyöke:

\begin{matrix} \frac{- 3 - \sqrt[]{10}}{2}, - \frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, \frac{- 3 + \sqrt[]{10}}{2} . \end{matrix}

(\frac{3}{2} az egyenletnek kétszeres gyöke.)

Irányi László (Kegyesrendi gimn. VI. o. Szeged)

II. Megoldás. Az előző megoldás bevezetésében foglalt megállapítások mellett

\begin{matrix} x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + 2) = {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (x^{2} + 3 x) = \\ {(x^{2} + 3 x + 1)}^{2} - 1. \end{matrix}

x^{2} + 3 x + 1 = z

, akkor

\begin{matrix} 16 (z^{2} & - 1) = 9, z^{2} - 1 = \frac{9}{16}, z^{2} = \frac{25}{16}, z = \pm \frac{5}{4} . \\ x^{2} + 3 x + 1 = \frac{5}{4} ill. x^{2} + 3 x = \frac{1}{4} . & (I.) \\ x^{2} + 3 x + 1 = - \frac{5}{4} ill. x^{2} + 3 x = - \frac{9}{4} . & (II.) \end{matrix}

Ezen két egyenlet megoldását l. I.-ben.

Jegyzet. A III. évf. 1 számában, a 133 gyakorlatban kimutattuk, hogy ha négy egymásután következő egész szám szorzatához 1-et adunk, négyzetszámot kapunk. Ezt általánosíthatjuk:
ha egy számtani haladvány négy egymásután következő tagjának szorzatához a különbség negyedik hatványát adjuk, négyzetes kifejezést nyerünk. Ugyanis

\begin{matrix} x (x + d) (x + 2 d) (x + 3 d) + d^{4} = (x^{2} + 3 d x) (x^{2} + 3 d x + 2 d^{2}) + d^{4} = \\ = {(x^{2} + 3 d x)}^{2} + 2 (x^{2} + 3 d x) d^{2} + d^{4} = {(x^{2} + 3 d x + d^{2})}^{2} . \end{matrix}

A mi esetünkben

d = 1