Feladat: 1298. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Almási János ,  Böröcz S. ,  Dénes L. ,  Deutsch J. ,  Dorn T. ,  Faludy J. ,  Faragó Kálmán ,  Fuchs László ,  Fülöp J. ,  Gutmann István ,  Hampel A. ,  Haraszthy András ,  Harkay A. ,  Harkay R. ,  Hoch M. ,  Hódi Endre ,  ifj. Schütz B. ,  Kaiser K. ,  Kovács Egon ,  Kovács Ervin ,  Kovács Ibolya ,  Kovács L. ,  Kunszt Gy. ,  Liptay L. ,  Major B. ,  Mendelsohn I. György ,  Mermelstein Ernő ,  Pallós Károly ,  Répás Lajos ,  Rusznák Gy. ,  Simon J. ,  Spirer P. ,  Steiner Gábor ,  Stúr Lajos ,  Sulner László ,  Szabó E. ,  Sziklaváry J. ,  Szittyai Dezső ,  Tóth A. ,  Tóth T. ,  Trunkó I. ,  Varga E. ,  Varga Ottó ,  Vassányi B. 
Füzet: 1939/január, 116. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Legnagyobb közös osztó, Legkisebb közös többszörös, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/november: 1298. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett számok párját jelölje A, B. Ezek oszthatók 12, 20, 45 legk. k. többszörösével. Ez 180, tehát

A=180a,B=180b.

A és B legk. k. többszöröse, 4320, tartalmazza osztói között 180-at, továbbá a és b minden közös és nem közös osztóját. Ebből következik, hogy 4320180=24 az a és b számok legk. k. többszöröse. Tehát most már azon a, b számpárokat kell meghatároznunk, melyeknek legk. k. többszöröse 24. Tegyük fel, hogy b≥a.
Ha b=24, akkor a bármely osztója lehet 24-nek, azaz az
1,2,3,4,6,8,12,24
számok bármelyike. Vagyis, ha B=4320, akkor A a
180,360,540,720,1080,1440,2160,4320
számok bármelyike. (8 számpár!)
b=12 esetében 24 legk. k. többszörös, ha a=23=8, vagy a=24. Minthogy a≤b, csak a=8 ad új számpárt, t. i. A=1440 és B=2160.
Ha b=8, akkor a=3,6,12,24 mellett lesz 24 legk. k. többszöröse a-nak és b-nek. Csak a=3 és a=6 szolgáltat új számpárt:
A=540,B=1440ésA=1080ésB=1440.

Eszerint összesen 11 számpár elégíti ki a feltételeket!
 

Jegyzet. Ügyelnünk kell arra, hogy a és b nem relatív prímek. Ugyanis a feladatban nem az áll, hogy A és B k. osztói csak 12, 20, 45, ill. ezek osztói.