Kezdőlap


Feladat:	1297. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Antal I. , Böröcz Imre , Császár Ákos , Csics Antal , Deutsch J. , Faludy J. , Faragó Kálmán , Fellegi Ödön , Fuchs László , Gutmann István , Haraszthy András , Hoch M. , Hódi Endre , Huhn László , Komlós Judit , Kovács Ervin , Mendelsohn I. György , Pál Sándor , Pallós Károly , Simon J. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szabó E. , Szittyai Dezső , Tóth A. , Tóth T. , Trunkó I. , Varga Ottó , Vassányi B. , Vizi László
Füzet:	1939/január, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Prímtényezős felbontás, Természetes számok, Gyakorlat, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/november: 1297. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy $504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$ , ki kell mutatnunk, hogy

\begin{matrix} f (a) \equiv (a^{3} - 1) a^{3} (a^{3} + 1) \end{matrix}

osztható külön-külön

2^{3}

3^{2}

és 7 törzsszám-hatványokkal.
I. Ha

a

páros szám, akkor

a^{3}

osztható

2^{3}

-ével.
Ha

a

páratlan,

a^{3} - 1

és

a^{3} + 1

egymásra következő páros számok; egyikük feltétlenül osztható 4-gyel is, tehát szorzatuk

2 \times 4 = 8 = 2^{3}

-ével.
Eszerint

f (a)

mindig osztható

2^{3}

-ével.
II. Ha

a

a 3 többszöröse,

a^{3}

osztható

3^{2}

-ével.
Ha

a

nem többszöröse 3-nak,

3 k \pm 1

alakban írható. Már most

\begin{matrix} a^{3} = {(3 k \pm 1)}^{3} = 3^{3} k^{3} \pm 3 \cdot 3^{2} k^{2} + 3 \cdot 3 k \pm 1. \end{matrix}

A jobboldal első 3 tagjának mindegyike és így összegük is

3^{2}

-ével osztható, azaz

\begin{matrix} a^{3} = 3^{2} M \pm 1. \end{matrix}

Eszerint vagy

a^{3} - 1

vagy

a + 1

osztható

3^{2}

-ével és így

f (a)

3^{2}

többszöröse.
III. Ha

a

többszöröse 7-nek, akkor

a^{3}

és így a

f (a)

is többszöröse 7-nek.
Ha

a

nem többszöröse 7-nek, akkor

\begin{matrix} 7 k \pm 1, 7 k \pm 2, 7 k \pm 3 \end{matrix}

alakú szám. Ezen számok köbe pedig

\begin{matrix} 7 m \pm 1, 7 m \pm 8, 7 m \pm 27 \end{matrix}

alakot vesz fel, tehát vagy

a^{3} - 1

, vagy

a^{3} + 1

osztható 7-tel.
Eszerint

f (a)

mindig többszöröse 7-nek is.

Komlós Judit (Szent Erzsébet leányg. V. o. Pécs)