Kezdőlap


Feladat:	1294. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal I. , Aszódi I. , Ballay L. , Böröcz Imre , Chabada György , Császár Ákos , Dénes László , Faragó Kálmán , Fischmann Herta , Fülöp János , Gutmann István , Haraszthy András , Harkay R. , Hoch M. , Hódi Endre , Huhn László , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács L. , Králik I. , Liebmann M. , Melke Á. , Pallós Károly , Pándy E. , Pfeifer Béla , Spirer P. , Stúr Lajos , Szabó Á. , Sziklavári J. , Szittyai Dezső , Vassányi B. , Vizi László
Füzet:	1938/december, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Pont körüli forgatás, Háromszögek nevezetes tételei, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 1294. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . A feladatban foglalt utasításokat követve, ábránk szerinti jelzésekkel

\begin{matrix} C M N Δ ≅ A N P Δ ≅ B P M Δ . \end{matrix}

Mindezen háromszögben két-két oldal és az általuk bezárt szög egyenlő:

\begin{matrix} C M = A N = B P = 2 a; C N = A P = B M = a \\ M C N ∢ = N A P ∢ = P B M ∢ = 120^{\circ} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

\begin{matrix} M N = N P = P M . \end{matrix}

2^{\circ}

. Kössük össze

A

-t az

M

ponttal. Az

A M B

egyenlőszárú háromszög

B

csúcsánál fekvő szög

120^{\circ}

, az

A M

alapon fekvő szögek mindegyike

30^{\circ}

.
Tehát

\begin{matrix} C A M ∢ = C A B ∢ + B A M ∢ = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} . \end{matrix}

\begin{matrix} A M = \sqrt[]{{\bar{C M}}^{2} - A C^{2}} = \sqrt[]{4 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt[]{3} . \\ M N = \sqrt[]{{\bar{A N}}^{2} + {\bar{A M}}^{2}} = \sqrt[]{4 a^{2} - 3 a^{2}} = a \sqrt[]{7} . \end{matrix}

M N P

háromszög mindegyik oldala:

a \sqrt[]{7}

3^{\circ}

. Kössük össze az

O

pontot az

A B C Δ

, ill. az

M N P Δ

csúcsaival. Ekkor

\begin{matrix} O A N Δ ≅ O B P Δ ≅ O C M Δ . \end{matrix}

Ugyanis

\begin{matrix} O A = O B = O C; A N = B P = C M . \\ O A N ∢ = O B P ∢ = O C M ∢ = 30^{\circ} . \end{matrix}

Az egybevágóság ismét azáltal áll elő, hogy két-két oldal és az általuk bezárt szög egyenlő.
Az egybevágóságból következik:

O N = O P = O M

, azaz

O

M N P

háromszögnek is a középpontja.

Dénes László (Áll. Szent István g. VI. o. Bp. XIV.)

Jegyzet: Ha az

A B C Δ

-et

O

körül

120^{\circ}

-kal elforgatjuk, pl. a pozitív irányban, akkor

A

B

-re,

B

C

-re,

C

A

-ra esik. Ugyanekkor az

B A P

egyenes a

C B M

, a

C B M

egyenes

A C N

, a

A C N

egyenes az

B A P

helyzetbe kerül, azaz:

P

M

M

N

N

P

helyére kerül. Eszerint

M N P Δ

is egyenlő oldalú. E háromszög középpontja ugyancsak

O