Kezdőlap


Feladat:	1293. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ballay L. , Boglár Gy. , Császár Ákos , Dénes L. , Faragó Kálmán , Hoch M. , Kovács E. , Králik I. , Mendelsohn I. György , Pál Sándor , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szabó A. , Szittyai Dezső , Varga Ottó , Vizi László
Füzet:	1938/december, 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat, Körérintők
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 1293. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha $β - γ = 90^{\circ}$ , akkor, $β = 90^{\circ} + γ$ , azaz $β$ tompaszög. Ezért az $A B C Δ$ köré írt kör középpontja, $O$ , a háromszögön kivül esik; az $A$ csúcsból vont magasság talppontja, $H$ , a $B C$ meghosszabbításán fekszik. Ki kell mutatnunk, hogy $A H$ a kört érinti az $A$ pontban, vagy

\begin{matrix} A H ⊥ O A, ill. O A ∥ B C . \end{matrix}

Minthogy

β

tompaszög,

A O C ∢ = 360^{\circ} - 2 β

\begin{matrix} O A C ∢ = 90^{\circ} - \frac{1}{2} (360^{\circ} - 2 β) = β - 90^{\circ} = γ . \end{matrix}

Eszerint az

O A C ∢

és

A C B ∢

egyenlő váltószögek. Ebből következik:

O A ∥ B C

Faragó Kálmán (Izr. g. VI. o. Debrecen)

II. Megoldás. Legyen

β > γ

. Az

A B C Δ

köré írt körhöz, az

A

pontban húzott érintő messe

B C

-t a

H

pontban. A kerületi szögek tétele alapján

B A H ∢ = A C B ∢ = γ

. Azonban

A B C ∢ = β

A B H Δ

külső szöge és így:

\begin{matrix} A B C ∢ = B A H ∢ + A H B ∢, \\ A H B ∢ = A B C ∢ - B A H ∢ = β - γ . \end{matrix}

β - γ = 90^{\circ}

, akkor

A H B ∢ = 90^{\circ}

, ill.

A H ⊥ B C

, azaz: az

A

pontban húzott érintő a háromszög magassági vonala.
Ha pedig

A H

magasság, akkor

β - γ = 90^{\circ}

Vizi László (Ciszterci Szent-István g. VI. o. Székesfehérvár.).