Kezdőlap


Feladat:	1292. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakay Gy. , Ballay L. , Bucher J. , Böröcz Imre , Deutsch J. , Faragó Kálmán , Fischmann Herta , Gutmann István , Haraszthy András , Hoch M. , Hódi Endre , Huhn László , Kovács Egon , Mekle Á. , Mórocza J. , Pallós Károly , Rusznák Gy. , Steiner Gábor , Stúr Lajos , Szalma Béla , Szittyai Dezső , Tolnay P. , Trellay János , Varga Ottó , Vizi László , Zsolgya Endre
Füzet:	1938/december, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/október: 1292. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen

\begin{matrix} \sqrt[^{3}]{25 + 5 \sqrt[]{20}} = x, \sqrt[^{3}]{25 - 5 \sqrt[]{20}} = y, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = 25 + 5 \sqrt[]{20} + 25 - 5 \sqrt[]{20} = 50 ... \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} x y = \sqrt[^{3}]{25^{2} - 25 \cdot 20} = \sqrt[^{3}]{125} = 5 ... \end{matrix}

(2)

Azonban

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) = {(x + y)}^{3} - 15 (x + y) = 50, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x + y = u az u^{3} - 15 u - 50 = 0 ... \end{matrix}

(3)

egyenlet gyöke. Minthogy

\begin{matrix} u^{3} - 15 u - 50 = (u - 5) (u^{2} + 5 u + 10), \end{matrix}

valóban

\begin{matrix} u - 5 = 0 azaz u = 5. \end{matrix}

u^{2} + 5 u + 10 = 0

egyenlet gyökei komplex számok; de a két köbgyök és így összegük is valós.

Huhn László (Kegyesrendi g. VI. o. Szeged.).

II. Megoldás. Az előbbi megoldás jelölését megtartva, tegyük fel, hogy

\begin{matrix} x + y = 5. \end{matrix}

Láttuk, hogy

\begin{matrix} x y = 5. \end{matrix}

Így

x

és

y

u^{2} - 5 u + 5 = 0

egyenlet gyökei:

\begin{matrix} u_{1} = \frac{5 + \sqrt[]{5}}{2}, u_{2} = \frac{5 - \sqrt[]{5}}{2} . \end{matrix}

Valóban

\begin{matrix} {(\frac{5 + \sqrt[]{5}}{2})}^{3} = 25 + 10 \sqrt[]{5} = 25 + 5 \sqrt[]{20}, \\ {(\frac{5 - \sqrt[]{5}}{2})}^{3} = 25 - 10 \sqrt[]{5} = 25 - 5 \sqrt[]{20}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \sqrt[^{3}]{25 + 5 \sqrt[]{20}} + \sqrt[^{3}]{25 - 5 \sqrt[]{20}} = \frac{5 + \sqrt[]{5}}{2} + \frac{5 - \sqrt[]{5}}{2} = 5. \end{matrix}

Böröcz Imre (Ciszterci Szent-Imre g. VI. o. Bp XI.)