Kezdőlap


Feladat:	1282. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bakai Gy. , Bakos K. , Ballay L. , Bernei F. , Böröcz Imre , Chabada György , Császár Ákos , Faludy J. , Faragó Kálmán , Farkas I. , Fehér Ö. , Fischmann Herta , Fülöp J. , Gutmann István , Haraszthy András , Harkay R. , Heppert Gy. , Hoch M. , Hódi Endre , ifj. Schütz B. , Kaiser K. , Komlós Judit , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Ervin , Kovács L. , Lovass Nagy V. , Major B. , Mendelsohn I. György , Mészáros Gy. , Pál Sándor , Pallós Károly , Pfeifer Béla , Resch L. , Sárközy Éva , Sellmann Tibor , Stein I. , Steiner Gábor , Sulner László , Szabadházy B. , Szabó Béla , Szabó E. , Sziklavári J. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Szvoboda F. , Tolnay P. , Trunkó I. , Várnagy Gábor , Vassányi B. , Vénusz T.
Füzet:	1938/november, 61 - 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/szeptember: 1282. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett két szám legyen $x$ és $y$ . Adataink szerint

\begin{matrix} x^{3} - y^{3} = (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) = 127. \end{matrix}

Minthogy

127

törzsszám, ezen egyenlet csak úgy állhat meg, ha

\begin{matrix} x - y = 1 és x^{2} + x y + y^{2} = 127. \end{matrix}

x = y + 1

helyettesítéssel keletkezik:

\begin{matrix} {(y + 1)}^{2} + (y + 1) y + y^{2} = 127, ill. 3 y^{2} + 3 y - 126 = 0. \end{matrix}

Egyszerűsítve :

\begin{matrix} y^{2} + y - 42 = 0, \\ y = \frac{1}{2} (- 1 \pm \sqrt[]{1 + 168}) = \frac{1}{2} (- 1 \pm 13), \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} y_{1} = 6, y_{2} = - 7 és így x_{1} = 7, x_{2} = - 6. \end{matrix}

A feladatnak két számpár felel meg:

\begin{matrix} x_{1} = 7, y_{1} = 6 és x_{2} = - 6, y_{2} = - 7. \end{matrix}

Várnagy Gábor (Dobó István g. VI. o. Eger.).