Feladat: 1280. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baka Sándor ,  Deutsch J. ,  Gottlieb Endre ,  Gutmann István ,  Haraszthy András ,  Hódi Endre ,  Huhn László ,  ifj. Schütz B. ,  Kovács E. ,  Králik I. ,  Kunszt Gy. ,  Lóránd László ,  Mendelsohn György ,  Névtelen ,  Pál Sándor ,  Pfeifer Béla ,  Sárközy Éva ,  Steiner Gábor ,  Stúr Lajos ,  Szabó A. ,  Szakáll O. ,  Sziklavári J. ,  Szittyai Dezső ,  Szlovák István ,  Varga O. 
Füzet: 1938/november, 59 - 60. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1938/szeptember: 1280. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

10. Vonjuk ki az (1) tagjaiból a (2), ill. a (3) tagjait. Keletkezik

a(x-y)-b(x-y)=0vagyis(a-b)(x-y)=0...(2a)a(x-z)+b(x-z)=0,,    (a+b)(x-z)=0...(3a)

Ha a-b≠0 és a+b≠0, akkor x-y=0 és x-z=0, tehát
x=y=z.

Most már (1)-ből x=ca és így x=y=z=ca, hacsak a≠0.
Az egyenletrendszer határozott, egy és csakis egy megoldása van, ha
a≠0,a-b≠0,a+b≠0.

α) Tegyük fel, hogy a+b=0. Ezen esetben az (1), (2a), (3a) egyenletekből álló rendszer:
a(x-y+z)=c,x-y=0.

Ha a≠0, z=ca, x=y. Az egyenletrendszer határozatlan, végtelen sok megoldása van.
β) a-b=0 esetben egyenletrendszerünk ez lesz:
a(x+y-z)=c,x-z=0.
Ha a≠0, akkor
y=ca,x=z.

Most is határozatlan egyenletrendszerrel van dolgunk.
γ) Ha a=0, egyenleteink ezek lesznek:
b(y-z)=c,b(x-z)=0,b(y-x)=0.

Ha b≠0, akkor a két utóbbiból: x=y=z. Már most, ha c≠0, akkor az elsővel ellenmondás áll elő, míg ha c=0, akkor határozatlanság: x=y=z.
a=0, b=0, c≠0 esetben ellenmondás áll elő.
a=0, b=0, c=0 esetben az egyenletek azonosságokká válnak.
 
Mendelsohn György (Izr. g. VI. o. Bp.).