Kezdőlap


Feladat:	1275. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Böröcz Imre , Faragó Kálmán , Freud Géza , Frisch R. , Fülöp J. , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Kunstädter L. , Lóránd László , Steiner Iván , Szittyai Dezső
Füzet:	1938/október, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Körérintési szerkesztések, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1275. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Valamely pontnak a körtől való távolsága jelentheti a ponton átmenő átmérő kisebbik vagy nagyobbik szeletét. Ha a 4 pont egy körön fekszik, akkor ezen körrel koncentrikus bármely kör megfelel a követelménynek.
Tegyük fel már most, hogy a 4 pont nem fekszik egy körön. Tekintsük továbbá azon kört, mely az adott $A$ , $B$ , $C$ pontokon megy keresztül és $D$ pl. ezen körön belül fekszik; e kör középpontja legyen $O$ . Az $O D$ átmérő a kört a $δ$ és $δ'$ pontokban metszi. $D δ$ felezőpontja legyen $ω$ , $D δ'$ -é pedig $ω'$ .

1^{0}

. Azon kör, melynek középpontja

O

és sugara

O ω

, kívülről érinti azon köröket, melyeknek középpontja

A

B

C

és sugaruk

\frac{1}{2} D δ

, belülről érintkezik azon körrel, melynek középpontja

D

és sugara ugyancsak

\frac{1}{2} D δ = D ω

.
Ezen kör tehát megfelel a követelménynek: mind a négy adott ponttól egyenlő

(\frac{1}{2} D δ)

távolságban van.

\begin{matrix} 2. \end{matrix}

2^{0}

. Hasonlóan azon kör, melynek középpontja

O

és sugara

O ω'

, kívülről érinti az

A

B

C

pontok körül

ω' δ' = \frac{1}{2} D δ'

sugárral leírt köröket és belülről érintkezik, az

ω'

pontban azon körrel, melynek középpontja

D

és sugara

D ω' = \frac{1}{2} D δ'

.
További két-két körhöz jutnak, ha az

A

B

C

pontokon átmenő körök helyett azon köröket tekintjük, melyek az

A

B

D

;

A

C

D

;

B

C

;

D

; pontokon mennek keresztül.

\begin{matrix} 3. \end{matrix}

3^{0}

. Végül kereshetjük azon köröket, melyek kívülről érintik az

A

és

B

körül, azonban belülről a

C

és

D

körül leírt köröket. Ilyen kör középpontja, egyenlő távolságban lévén egyrészt

A

-tól és

B

-től, másrészt

C

-től és

D

-től, az

A B

és

C D

távolságokat merőlegesen felező egyenesek

I

metszőpontja; sugara pedig

\frac{1}{2} (I A + I C)

. Feltéve már most, hogy

I A > I C

, a szóbanforgó kör az

A

és

B

körül

\frac{1}{2} (I A - I C)

sugárral leírt köröket kívülről, a

C

és

D

körül ugyanakkora sugárral szerkesztett köröket belülről érinti. (Tehát az

I

középpontú kör mind a négy ponttól

\frac{1}{2} (I A - I C)

távolságra van!)
Ilyen tulajdonságú kör összesen 3 van, mert az

A

-hoz vehetjük a

B

-t, ill.

C

-t vagy

D

-t.
Az összes megoldások száma eszerint

4 \times 2 + 3 = 11

.
Az elmondottak alapján következtethetünk azon speciális esetekre, amidőn a 4 pont közül 3 vagy mind a négy egy egyenesen van, vagy a 4 pont nem szimmetrikus trapéz csúcsai.