Kezdőlap


Feladat:	1272. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bizám György , Faragó Kálmán , Freud Géza , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Lipsitz Imre , Pallós Károly , Róka Ede , Steiner Iván , Szlovák István
Füzet:	1938/október, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszög területe, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1272. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Tulajdonképpen két egyenletrendszerrel van dolgunk, aszerint, amint $a$ -t $+$ vagy $-$ jellel vesszük.
I.

\begin{matrix} y = m x + a ... \end{matrix}

(1a)

\begin{matrix} a (y - x) = x y ... \end{matrix}

(2a)

y

kiküszöbölésével keletkezik:

\begin{matrix} m x^{2} + a (2 - m) x - a^{2} = 0 ... \end{matrix}

(3)

3)-nak valósak a gyökei, ha

\begin{matrix} a^{2} {(2 - m)}^{2} + 4 a^{2} m ≧ 0, ill. a^{2} (4 + m^{2}) > 0. \end{matrix}

Ezen feltétel mindenkor ki van elégítve; az I. egyenletrendszernek az

m

bármely értéke mellett két valós megoldása van.
II.

\begin{matrix} y = m x - a ... \end{matrix}

(1b)

\begin{matrix} a (y - x) = x y ... \end{matrix}

(2b)

y

kiküszöbölésével keletkezik:

m x^{2} - m a x + a^{2} = 0 ...

4)-nek valósak a gyökei, ha

\begin{matrix} m^{2} a^{2} - 4 m a^{2} ≧ 0 ill. m (m - 4) ≧ 0. \end{matrix}

Ezen esetben akkor valósak a gyökök, ha

m ≦ 0

vagy

m ≧ 4

2^{0}

. 2)-ből

y = \frac{a x}{a - x} = \frac{a (x - a) + a^{2}}{a - x} = - a + \frac{a^{2}}{a - x}

.
Ha

x

végtelen felé tart, akkor a függvény értéke

- a

-hoz közeledik, a görbe az

y = - a

egyeneshez (és ezt a végtelenben érinti, ha

x = \pm \infty

y

értéke

+ \infty

felé tart, ha

x

a

-nál kisebb értékek oldalán, azonban

- \infty

felé tart, ha

x

a

-nál nagyobb értékek oldalán közeledik

a

-hoz. A görbe az

x = a

egyenest a végtelenben érinti (ha

y = \pm \infty

A görbének két egymásra merőleges aszimptotája van, eszerint: egyenlőoldalú hiperbolával van dolgunk.
Az

y = m x + a

egyenes keresztülmegy a

K (x = 0, y = + a)

ponton; irányhatározója

m

. A

K

ponton átmenő bármely egyenes metszi a görbét két pontban. Ha

m = 0

, az egyik metszéspont a

P (x = \frac{a}{2}, y = a)

, a másik a végtelenben van.
Ha

m = \infty

, az egyik metszéspont az origo

(x = 0, y = 0)

, a másik a végtelenben van.
Az

y = m x - a

egyenes keresztülmegy az

L (x = 0

y = - a)

ponton. Ezen ponton átmenő egyenesek közül az, amelyikre nézve

m = 0

(párhuzamos

X

tengellyel), a görbe aszimptotája. Amelyikre nézve

m = 4

, érinti a görbét. Ugyanis ekkor 4)-ből

\begin{matrix} 4 x^{2} - 4 a x + a^{2} = 0 azaz {(2 x - a)}^{2} = 0. \end{matrix}

x = \frac{a}{2}

ezen egyenlet kétszeres gyöke; tehát az

y = 4 x - a

egyenes a görbét a

P (x = \frac{a}{2}, y = a)

pontban érinti.
Az

L

ponton átmenő egyenesek közül azoknak, melyek az

y = - a

aszimptota

(X' L X)

és az

y = 4 x - a

érintő által alkotott hegyes szögön belül esnek, a görbével nincs közös pontjuk. (Ezekre nézve

0 < m < 4)

Steiner Iván (Toldy Ferenc g. VI. o. Bp. II.)