Kezdőlap


Feladat:	1271. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Bizám György , Böröcz Imre , Faragó Kálmán , Fellegi Ödön , Freud Géza , Fülöp J. , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Lipsitz Imre , Lóránd László , Ozoróczy Gyula , Pallós Károly , Róka Ede , Steiner Iván , Szittyai Dezső , Szlovák István
Füzet:	1938/október, 32 - 33. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1271. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $y = p$ egyenes az $y = x^{3} - 5 x + 4$ görbét oly pontokban metszi, melyeknek abscissái az

\begin{matrix} x^{2} - 5 x + 4 = p ill. x^{2} - 5 x + (4 - p) = 0 ... \end{matrix}

(1)

egyenletet elégítik ki. Ha ezen egyenlet gyökei

a

és

b

, akkor

\begin{matrix} a + b = 5 ... & (2) \\ a b = 4 - p ... & (3) \\ a^{4} + b^{4} = 1297 ... & (4) \\ a^{4} + b^{4} = {(a^{2} + b^{2})}^{2} - 2 a^{2} b^{2} = {[{(a + b)}^{2} - 2 a b]}^{2} - 2 a^{2} b^{2} = 1297 \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(25 - 2 a b)}^{2} - 2 a^{2} b^{2} = 1297. \end{matrix}

Itt az

a b

szorzatra másodfokú egyenletet kaptunk, melynek rendezett és egyszerűsített alakja:

\begin{matrix} {(a b)}^{2} - 50 (a b) - 336 = 0 ... \end{matrix}

(5)

és innen

\begin{matrix} a b = 25 \pm 31 = {\begin{matrix} 56 \\ - 6. \end{matrix} \end{matrix}

Minthogy

a + b = 5

a

és

b

\begin{matrix} u^{2} - 5 u + 56 = 0 ... \end{matrix}

(6)

ill.

\begin{matrix} u^{2} - 5 u - 6 = 0 ... \end{matrix}

(7)

gyökei. A 6) gyökei nem valósak, tehát nem jelenthetik pontok abscissáit. A 7) gyökei:

6

és

- 1

.
3)-ból

\begin{matrix} p = 4 - a b = 4 + 6 = 10. \end{matrix}

y = 10

(az

X

-tengellyel párhuzamos) egyenes a görbét két pontban metszi és ezek abscissái

6

és

- 1

. (Ordináta:

10

).
Ha

a b = 56

, akkor

p = 4 - 56 = - 52

. Az

y = - 52

nem metszi görbét! A görbének ugyanis alsó tetőpontja van; ennek ordinátáját a görbe egyenletének

\begin{matrix} y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4} \end{matrix}

alakjából kiolvashatjuk, t.i.

- \frac{9}{4}

Szittyai Dezső (Wagner g. V. o. Rákospalota.)