Kezdőlap


Feladat:	1268. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baán Sándor , Baka Sándor , Bizám György , Böröcz Imre , Dénes L. , Faludy J. , Faragó Kálmán , Fonó András , Forgács Péter , Freud Géza , Frisch R. , Gutmann István , Haraszthy András , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Kovács Egon , Lipsitz Imre , Lóránd László , Mogyoróssy Kálmán , Ozoróczy György , Pallós Károly , Róka Ede , Schütz B. , Steiner Iván , Szittyai Dezső , Szlovák István , Trellay János , Trunkó I.
Füzet:	1938/október, 30 - 31. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat, Polinomok oszthatósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1268. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha a megadott negyedfokú kifejezés osztható az ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ másodfokúval, a hányados másodfokú, melynek első tagja $4 x^{2}$ , tehát $4 x^{2} + p x + q$ alakú. Kell tehát, hogy legyen:

\begin{matrix} 4 x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} + a x + b \equiv (x^{2} - 2 x + 1) (4 x^{2} + p x + q) . \end{matrix}

Ha a jobboldalon a szorzást elvégezzük és a tagokat

x

hatványai szerint rendezzük, keletkezik

\begin{matrix} 4 x^{4} + (p - 8) x^{3} + (q - 2 p + 4) x^{2} + (p - 2 q) x + q . \end{matrix}

Az azonosság azt jelenti, hogy a két oldalon a megfelelő együtthatók egyenlők:

\begin{matrix} p - 8 = 4, q - 2 p + 4 = - 11, p - 2 q = a, q = b . \end{matrix}

Innen sorban haladva:

p = 12

q = 9

a = - 6

b = 9

.
A hányados:

4 x^{2} + 12 x + 9

.
Haraszthy András (Szent László g. V. o. Bp. X)

II. Megoldás. A negyedfokú kifejezés osztható

{(x - 1)}^{2}

-ével, ha osztható

(x - 1)

-gyel és a hányados ismét osztható

(x - 1)

-gyel.
Valamely többtagú egész kifejezése

x

-nek osztható

(x - 1)

-gyel, ha

x = 1

helyettesítéssel a kifejezés értéke zérus, azaz, ha

\begin{matrix} 4 + 4 - 11 + a + b = 0, a + b - 3 ill. b = 3 - a . \end{matrix}

Így keletkezik:

4 x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} + a x + (3 - a)

.
Ha ezt

(x - 1)

-gyel osztjuk, a hányados

\begin{matrix} 4 x^{3} + 8 x^{2} - 3 x + (a - 3) . \end{matrix}

Ha már mos itt

x

helyébe

1

-t helyettesítünk:

\begin{matrix} 4 + 8 - 3 + a - 3 = 0, a = - 6, b = - 9. \end{matrix}

Róka Ede (Ref. g. VI. o. Bp.)

III. Megoldás.

\begin{matrix} (4 x^{4} + 4 x^{3} - 11 x^{2} + a x + b) : (x^{2} - 2 x + 1) = 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ \begin{matrix} - 4 x^{4} & \mp 8 x^{3} & \pm 4 x^{2} \\ 12 x^{3} & - 15 x^{2} & + a x \\ - 12 x^{3} & \mp 24 x^{2} & \pm 12 x \\ 9 x^{2} & + (a - 12) x & + b \\ - 9 x^{2} & \mp 18 x & \pm 9 \\ (a + 6) x & + b & - 9 \end{matrix} \end{matrix}

Az oszthatóság feltétele, hogy a maradék

x

bármely értékénél eltűnjék, azaz

a + 6 = 0

és

b - 9 = 0

, tehát

a = - 6

b = 9

legyen.
Lóránd László (Bencés g. V. o. Győr.)