Feladat:	1267. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bizám György ,  Faludy J. ,  Faragó Kálmán ,  Fellegi Ödön ,  Fonó András ,  Forgács Péter ,  Freud Géza ,  Fülöp J. ,  Gutmann István ,  Haraszthy András ,  Hódi Endre ,  Hoffmann Tibor ,  Kalcsó Gyula ,  Lipsitz Imre ,  Ozoróczy Gyula ,  Pallós Károly ,  Róka Ede ,  Schütz B. ,  Steiner Iván ,  Szittyai Dezső ,  Szlovák István ,  Trellay János ,  Trunkó I.
Füzet:	1938/október, 29. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Gyakorlat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/május: 1267. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a^3-b^3}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}=\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Már most, ha $a$ és $b$ relatív prímek, akkor kell, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle n_1=a+b\text{és}{n}_2=a^2+ab+b^2={\left(a+b\right)}^2-ab}\end{array}$ is relatív prímszámok legyenek. Legyen ugyanis valamely $p$ törzsszám $n_1$ és $n_2$ számok közös osztója; akkor $p$ osztója az $\begin{array}{c}{\displaystyle n_1^2-n_2=ab}\end{array}$ számnak, tehát vagy az $a$ vagy $b$ számnak. Ha pedig $p$ osztója pl. az $a$-nak, közös osztója az $\begin{array}{c}{\displaystyle a\text{és}{n}_1=a+b}\end{array}$ számoknak is és így $b$-nek is osztója. Eszerint, ha $n_1$ és $n_2$ nem relatívprímek, akkor $a$ és $b$ sem ilyenek; ez pedig ellenkezik feltevésünkkel. Kell tehát, hogy $n_1$ és $n_2$ relatív prímek legyenek, más szóval az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}}\end{array}$ tört irreducibilis. Azonban $\frac{49}{1801}$ is irreducibilis. Ebből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a+b=49\text{és}{\left(a+b\right)}^2-ab=\mathrm{1801,}\text{azaz}ab={49}^2-1801=\mathrm{600,}}\end{array}$ tehát $a$ és $b$ az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-49x+600=0\text{egyenlet gyökei; ezek pedig}25\text{és}24.}\end{array}$ A feladat megoldása: $a=25$, $b=24$ vagy $a=24$, $b=25$.  Forgács Péter (Ág. ev. g. VI. o., Bp.)