Kezdőlap


Feladat:	1266. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bizám György , Fonó András , Freud Géza , Hajdu Á. , Halász Iván , Hoffmann Tibor , Horváth Sándor , Jesch A. , Lipsitz Imre , Nádler Miklós , Sándor Gyula , Steiner Iván
Füzet:	1938/szeptember, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Gyakorlat, Paraméteres egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1266. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} sin x + sin (x + 2 y) = 2 sin (x + y) cos y ... & (3) \\ cos x + cos (x + 2 y) = 2 cos (x + y) cos y ... & (4) \end{matrix}

Helyettesítve (3) szerint (1)-be (4) szerint (2).be, keletkezik

\begin{matrix} sin (x + y) [1 + 2 cos y] = sin φ ... & (1a) \\ cos (x + y) [1 + 2 cos y] = cos φ ... & (2a) \end{matrix}

Utóbbi egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve és összeadva:

\begin{matrix} [{sin}^{2} (x + y) + {cos}^{2} (x + y)] {[1 + 2 cos y]}^{2} = {sin}^{2} φ + {cos}^{2} φ, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} {(1 + 2 cos y)}^{2} = 1 vagyis 4 {cos}^{2} y + 4 cos y = 0 ... \end{matrix}

(5)

Innen:

\begin{matrix} cos y = 0 és cos y = - 1. \end{matrix}

I. Ha

cos y = 0

, akkor 1a) és 2a)-ból:

\begin{matrix} sin (x + y) = sin φ és cos (x + y) = cos φ, \end{matrix}

tehát

x + y = φ

és

cos y = 0

miatt

y = \frac{π}{2}

vagy

\frac{3 π}{2}

¹ .
Eszerint

\begin{matrix} x = φ - \frac{π}{2} vagy x = φ - \frac{3 π}{2} . \end{matrix}

II. Ha

cos y = - 1

, akkor 1a) és 2a)-ból:

\begin{matrix} - sin (x + y) = sin φ és - cos (x + y) = cos φ . \end{matrix}

Ez csak úgy lehet, ha

x + y = φ + π

cos y = - 1

alapján

y = π,

tehát

x = φ

².

Nádler Miklós (Kossuth Lajos g. VII. o. Pestszenterzsébet.)

¹Általában:

x + y = φ + 2 k π

y = \frac{π}{2} + l π

és

x = φ - \frac{π}{2} + n π

, ahol

l

ill.

n

bármely egész szám.

²Általában $x + y = φ + (2 k + 1) π$ , $y = (2 l + 1) π$ és így $x = φ + 2 n π$ .