Kezdőlap


Feladat:	1265. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Antal I. , Baka Sándor , Bizám György , Bolgár Imre , Bucher J. , Böröcz Imre , Deák András , Faludy J. , Fonó András , Freud Géza , Gottlieb Endre , Gyulay Z. , Hajdu Á. , Haraszthy András , Hegedüs Zs. , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth Sándor , Kalcsó Gyula , Klacskó Géza , Kornis Edit , Kovács Egon , Laub György , Lipsitz Imre , Ozoróczy Gyula , Pallós Károly , Schütz B. , Srubek K. , Steiner Iván , Sulner L. , Szabó E. , Szittyai Dezső , Trunkó I.
Füzet:	1938/szeptember, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Háromszögek hasonlósága, Trapézok, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1265. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Jelölje $t_{1}$ az $A O B △$ , a $t_{2}$ , a $C O D △$ , és $x$ az $A O D △$ , ill. $B O C △$ területét; utóbbiak területe az egybevágóságuk miatt egyenlő.
Az $A O D$ és $A O B$ háromszögeknek $D O$ és $O B$ alapjuk egy egyenesbe esik, az $A$ csúcsuk közös; ezért magasságuk egyenlő. Területük aránya tehát a $D O$ és $O B$ alapok arányával egyezik meg, azaz

\begin{matrix} x : t_{1} = D O : O B ... \end{matrix}

(1)

Hasonlóan a

B O C

és

B O D

háromszögekre nézve

\begin{matrix} x : t_{2} = O B : D O ... \end{matrix}

(2)

1) és 2) megfelelő tagjait szorozva:

\begin{matrix} x^{2} : t_{1} T_{2} = D O \cdot O B : O B \cdot D O, tehát x^{2} = t_{1} t_{2} . \end{matrix}

(Más szóval: az

A O D

ill.

B O C △

területe az

A O B

és

C O D

háromszögek területeinek mértani középarányosa).
Ezek alapján a trapéz területe

\begin{matrix} t = t_{1} + t_{2} + 2 x = t_{1} + t_{2} + 2 \sqrt[]{t_{1} t_{2}} = {(\sqrt[]{t_{1}} + \sqrt[]{t_{2}})}^{2}, \\ t = 52 + 117 + 2 \sqrt[]{4 \cdot 13 \cdot 9 \cdot 13} = 52 + 117 + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 325 m^{2} . \end{matrix}

Holló György (Dobó István g. VI. o. Eger)

II. Megoldás. Legyen

A B = a

C D = b

a trapéz magasságának szeletei

m_{1}

m_{2}

. Minthogy

A O B △ \sim C O D △

\begin{matrix} m_{1} : m_{2} = a : b és t_{1} : t_{2} = a^{2} : b^{2} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} {(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{52}{117} = \frac{4}{9}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{2}{3} ill. b = \frac{3 a}{2} és m_{2} = \frac{3 m_{1}}{2} . \end{matrix}

A trapéz területe

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} (a + b) (m_{1} + m_{2}) - \frac{1}{2} (a + \frac{3 a}{2}) (m_{1} + \frac{3 m_{1}}{2}) = \frac{25 a m_{1}}{8} = \frac{25 \cdot 2 t_{1}}{8} \\ t = \frac{25 \cdot 104}{8} = 326 m^{2} . \end{matrix}

Kalcsó Gyula (Balassi Bálint g. VI. o. Balassagyarmat