Kezdőlap


Feladat:	1264. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baka Sándor , Bizám György , Bolgár Imre , Bucher J. , Böröcz Imre , Chabada György , Deák András , Faludy J. , Fellegi Ödön , Fonó András , Freud Géza , Gottlieb Endre , Gutmann István , Gyulay Z. , Hajdu Amadé , Haraszthy András , Hegedüs Zs. , Hódi Endre , Hoffmann Tibor , Holló György , Horváth Sándor , Klacskó Géza , Kornis Edit , Kovács Egon , Kovács Gy. , Laub György , Lipsitz Imre , Mogyoróssy Kálmán , Névtelen , Rajó S. , Schütz B. , Steiner Iván , Sulner L. , Szittyai Dezső , Szlovák István , Trellay János , Trunkó I.
Füzet:	1938/szeptember, 7 - 8. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek nevezetes tételei, Szögfelező egyenes, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat, Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1264. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Az $A B$ átfogóhoz tartozó derékszögű háromszög $C$ csúcsa az $A B$ átmérő fölött szerkesztett körön fekszik. A derékszöget felező egyenes keresztül megy e kör $E$ pontján, amely az $A B$ átmérő túlsó oldalán fekvő félkört felezi, továbbá $A B$ -t a $D$ pontban $4 : 1$ arányban osztja.

A szerkesztés eszerint ez lesz: az

A B

-t

4 : 1

arányban két részre osztjuk a

D

ponttal. A

180^{\circ}

-ú

\hat{A B}

ív felező pontját összekötjük

D

-vel; az összekötő egyenes a kört még a keresett

C

pontban metszi.

A B C △

a feltételeknek megfelel!
A szögfelezőre vonatkozó tétel szerint

\begin{matrix} A C : B C = 4 : 1 azaz A C = 4 B C . \end{matrix}

Azonban

\begin{matrix} {\bar{A C}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} = {\bar{A B}}^{2}, tehát 16 {\bar{B C}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} \\ 17 {B C}^{2} = {\bar{A B}}^{2}, B C = \frac{\bar{A B}}{\sqrt[]{17}} és A C = \frac{4 \bar{A B}}{\sqrt[]{17}} . \end{matrix}

Hajdu Amadé (Bencés g. VI. o. Pápa.)

II. Megoldás. Amint az előbbi megoldásban láttuk, a keresett derékszögű háromszögben a befogók aránya

4 : 1

. Mindazok a derékszögű háromszögek, amelyekben a befogók aránya

4 : 1

, hasonlóak.

Szerkesszünk tehát egy tetszőleges derékszögű háromszöget, melyben a befogók aránya

4 : 1

, azaz

\begin{matrix} B' C' : A C' = 4 : 1. \end{matrix}

A B'

átfogóra felmérjük az adott átfogót,

A B

-t és

B

-ből merőlegest állítunk

A C'

-re; ha ennek talppontja

C

, akkor

A B C △

a keresett derékszögű háromszög.

Lipsitz Imre (Izr. g. VI. o. Debrecen)