Kezdőlap


Feladat:	1263. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bizám György , Faragó Kálmán , Freud Géza , Hajdu Á. , Kornis Edit , Szlovák István
Füzet:	1938/szeptember, 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Pont körre vonatkozó hatványa, Gyakorlat, Hatványvonal, hatványpont, Körök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1263. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{0}$ . Tegyük fel, hogy feladatunkat megoldottuk; a $C D$ és $C' D'$ egyenesek metszőpontja legyen $P$ . Ha tehát a $C$ , $D$ , $C'$ , $D'$ pontok egy $k$ körön feküsznek, akkor

\begin{matrix} \bar{P C} \cdot \bar{P D} = \bar{P' C'} \cdot \bar{P' D'}, \end{matrix}

tehát a

P

pontnak az

O

és

O'

körök hatványvonalán kell feküdnie.
Eszerint meg kell szerkesztenünk az

O

és

O'

körök

e

hatványvonalát. A

C D

egyenes messe az

e

-t a

P

pontban; a

P A'

egyenes meghatározza az

O'

körben a

C' D'

húrt úgy, hogy

\bar{P C} \cdot \bar{P D} = \bar{P' C'} \cdot \bar{P' D'}

, tehát a

C

D

C'

D'

pontok egy

k

körön feküsznek.

2^{0}

. A

k

kör középpontja legyen

ω

. Az

A

pont hatványa a

k

körre vonatkozólag:

\bar{ω A^{2}} - \bar{ω D^{2}}

^{$^{*}$}. Ennek meg kell egyeznie az

A

pontnak az

O

körre vonatkozó hatványával; ugyanis

A

k

és az

O

körök hatványvonalán, a

C D

egyenesen fekszik.

Eszerint

\begin{matrix} {\bar{ω A}}^{2} - {\bar{ω D}}^{2} = \bar{A D} \cdot \bar{A C} . \end{matrix}

Hasonlóan:^{$^{*}$}

\begin{matrix} {\bar{ω A'}}^{2} - {\bar{ω D}}^{2} = \bar{A' D'} \cdot \bar{A' C'} . \end{matrix}

Azonban

A D \cdot A C

és

A' D' \cdot A' C'

meghatározott értékek és így

\begin{matrix} {\bar{ω A}}^{2} - {\bar{ω D}}^{2} = konstans, \end{matrix}

azaz

ω

pont mértani helye oly

g

egyenes, mely az

A A'

egyenesre merőleges. (Ezen egyenes könnyen szerkeszthető, ha egy

k

kör középpontját meghatároztuk!).

Freud Géza (Berzsenyi Dániel g. VI. o. Bp. V.)

^{$^{*}$}

ω D

k

kör sugara!

^{$^{*}$}Az $A'$ pontnak a $k$ -ra vonatkozó hatványa ugyanakkora, mint $A'$ -nek az $O'$ -re vonatkozó hatványa.