Kezdőlap


Feladat:	1261. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal I. , Baka Sándor , Bizám György , Chabada György , Dénes L. , Faludy J. , Fellegi Ödön , Fonó András , Freud Géza , Fülöp J. , Hegedüs Zs. , Hoffman Tibor , Horváth Sándor , Kalcsó Gyula , Kornis Edit , Mendelsohn György , Mogyoróssy Kálmán , Pfeifer Béla , Schütz B. , Steiner Iván , Sulner L. , Szittyai Dezső , Trunkó I.
Füzet:	1938/szeptember, 5 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1938/április: 1261. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1 .^{0}$ Helyettesítsünk $x$ helyébe $- \frac{1}{x}$ -et; keletkezik

\begin{matrix} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 1 + \frac{a}{x} (\frac{1}{x^{2}} - 1) = 0 vagy 1 + 4 x^{2} + x^{4} + a x (1 - x^{2}) = 0 \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} x^{4} + 4 x^{2} + 1 - a x (x^{2} - 1) = 0 ... \end{matrix}

(1)

2^{0}

. Az egyenlet minden tagját elosztjuk

x^{2}

-ével:

\begin{matrix} x^{2} + 4 + \frac{1}{x^{2}} - a (x - \frac{1}{x}) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x - \frac{1}{x} = y, akkor x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = y^{2} ill. x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = y^{2} + 2. \end{matrix}

Így az adott egyenletből keletkezik:

\begin{matrix} y^{2} - a y + 6 = 0 ... \end{matrix}

(2)

Ezen egyenlet gyökei valósak, ha

a^{2} - 24 \geq 0

, tehát, ha

\begin{matrix} | a | > \sqrt[]{24} = 2 \sqrt[]{6} ill. ha a < - 2 \sqrt[]{6} vagy a > 2 \sqrt[]{6} . \end{matrix}

3^{0}

. A (2) gyökei egyenlők, ha

a = \pm 2 \sqrt[]{6}

\begin{matrix} a = 2 \sqrt[]{6} mellett y_{1} = y_{2} = \sqrt[]{6} \\ a = - 2 \sqrt[]{6} mellett y_{1} = y_{2} = - \sqrt[]{6} \end{matrix}

A megfelelő

x

értékek az

\begin{matrix} x - \frac{1}{x} = y ill. x^{2} - y x - 1 = 0, tehát az x^{2} \pm \sqrt[]{6} x - 1 = 0 egyenletek gyökei. \\ x^{2} - x \sqrt[]{6} - 1 = 0 gyökei: x_{1} = \frac{\sqrt[]{6} + \sqrt[]{10}}{2}, x_{2} = \frac{\sqrt[]{6} - \sqrt[]{10}}{2} = \\ x^{2} + x \sqrt[]{6} - 1 = 0 gyökei: x_{3} = \frac{- \sqrt[]{6} + \sqrt[]{10}}{2}, x_{4} = \frac{- \sqrt[]{6} - \sqrt[]{10}}{2} \end{matrix}

Hoffmann Tibor (Szent-István g. VI. o. Bp. XIV.)